陈浩林，罗永贵，高荣海

（贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550025）

设S是一个半群，对任意a,b∈S，如果a,b所生成的主左理想相等，即S1a=S1b，则称a,b有L关系，记为aLb；如果a,b所生成的主右理想相等，即aS1=bS1，则称a,b有R关系，记为aRb；如果a,b所生成的主理想相等，即S1aS1=S1bS1，则称a,b有J关系，记为aJb；如果aLb且aRb，则称a,b有H关系，即H=L∩R；记D为L与R的上确界，即D=L∨R。易见，L,R,H,D,J都是半群S上的等价关系，统称为格林等价关系。在半群S上定义等价关系L*,R*,H*,D*,J*。aL*(R*)b当且仅当在包含半群S的一个半群M上aL(R)b；D*=L*∨R*，H*=L*∩R*；aJ*b当且仅当在包含半群S的一个半群M上aJb。将上述五个等价关系统称为半群S上的格林（星）等价关系。对任意a,e∈S，若存在b∈S使得aba=a，则称a为半群S的正则元，半群S中的所有正则元之集记为Reg，若 Reg(S)=S，则称半群S为正则半群。若e2=e，则称e为半群S的幂等元，半群S的所有幂等元之集记为 E(S)。显然，幂等元一定是正则元，但正则元不一定是幂等元。若半群S的每个L-类，R-类都至少包含一个幂等元，则称半群S为富足半群。

关于格林（星）关系及半群富足性的研究是变换半群的研究热点之一。文献［1］将格林关系进行推广，获得了广义格林关系，并且阐述了格林关系的来龙去脉；文献［2］验证了变换半群的完全正则性及超富足性；文献［3］刻划了半群CPOn(A) 的格林关系；文献［4-6］讨论了几类半群的格林等价关系及正则性；文献［7］得到了半群的格林（星）等价关系及富足性；文献［8］给出了半群的格林星关系及富足半群的定义。在文献［1-8］的基础上研究半群的格林（星）关系及非正则富足性。

1 预备知识

定义1 设A，B是Xn的两个非空子集，若max A＜minB，则称集合A小于集合B，记为A＜B。

设Xn={1,2,…,n}，对任意的x∈Xn，记Ix={y∈Xn:1≤y≤x}。Tn,Pn,Sn分别是Xn上的全变换半群，部分变换半群，对称群。设α∈Tn，对任意x,y∈Xn,xα≤yα，则称α是保序变换。分别用On,POn表示TnSn,PnSn上的所有保序变换之集。令SPOn=POnOn。对 1≤k≤n，记={α∈SPOn:∀x∈dom(α),x≤k⇒xα≤k}。

其中，A1＜A2＜…＜Ar,A1∪A2∪…∪Ar≠Xn，a1＜a2＜…＜ar(1≤r≤n-1)

Ap∩Ik≠∅(1≤p≤i)，Aq∩Ik=∅(i+1≤q≤r)，as∈Ik(1≤s≤j)，at∉Ik(j+1≤t≤r)。

设α∈，dom (α)和im(α)分别表示α的原像集和像集。记Ker(α)={(x,y)∈dom(α)×dom(α):xα=yα}。则Ker(α)为Xn上的等价关系，称为α的核。

定义2 设 1≤k≤n，在半群上定义等价关系～*：α～*β当且仅当|im(α)|=|im(β)|。

文中未定义的术语及符号参见文献［9-10］。

引理1［9］在有限半群S 上有D=J

反之，假设Ker(α)=Ker(β)，Ψα(k)=Ψβ(k)。不妨设

推论2设 1≤k≤n，α，β∈，且α，β是正则元，则：

（i）αLβ当且仅当im(α)=im(β)

（ii）αRβ当且仅当Ker(α)=Ker(β)

（iii）α Dβ当且仅当|im(α)|=|im(β)|且|ψα(k)|=|ψβ(k)|

证明：必要性显然成立。下证充分性

引理 2 设S 是半群，a,b∈S，则

（1）aL*b当且仅当对任意x,y∈S，

ax=ay⇔bx=by；

（2）aR*b当且仅当对任意x,y∈S，

xa=ya⇔xb=yb；

定理 5 设 1≤k≤n，α，β∈，则

（1）α L*β 当且仅当im(α)=im(β)；

（2）α R*β 当且仅当Ker(α)=Ker(β)；

证明：（1）α L*β，不妨设

其中，

ap∈Ik,aq∉Ik,1≤p≤i,i+1≤q≤r。

取1 为Xn上的恒等变换，令

显然，µ∈，im (α)=im(µ)且α1=αµ，由引理2 可得β1=βµ，从而im(β)=im(β)µ⊆im(µ)=im(α)。同理，im(α)⊆im(β)。因此im(α)=im(β)。

反之，若im(α)=im(β)，因为在部分变换半群Pn中有αLβ，从而αL*β。

（2）若αR*β，设

显然，η∈，Ker(α)=Ker(η)且1α=ηα，由引理2 可得 1β=ηβ。对任意的(x,y)∈Ker(α)，有xα=yα，则xη=yη，从而xβ=(xη)β=(yη)β=yβ，因此Ker(α)⊆Ker(β)。同理可得Ker(β)⊆Ker(α)。因此Ker(α)=Ker(β)。

反之，若Ker(α)=Ker(β)，因为在部分变换半群Pn中有αRβ，从而αR*β。

定理 6～*=L*◦R*◦L*=R*◦L*◦R*=D*

证明：设α,β∈，若α～*β，不妨设|im(α)|=|im(β)|=r，分为以下两种情形

情形1：|ψα(k)|=|ψβ(k)|=s，设

其中，ap，bp∈Ik，aq，bq∉Ik，·1≤p≤s，s+1≤q≤r，令

其中，ap，bq∈Ik，1≤p≤s，·1≤q≤m，al，bh∉Ik，s+1≤l≤r，m+1≤h≤r。

例 1 设n=6,k=3,r=3,令