安徽 石 舢

函数是高中数学中的一大主线，函数思想在非函数章节中有着广泛的应用，利用函数思想解决相关问题有时会轻松很多.本文介绍了函数思想在高中数学中部分内容上的应用，以期帮助学生巧妙地解决相关数学问题.

1.在不等式中的应用

函数思想在不等式中有着广泛的应用，除了在求不等式解集上的应用外，在不等式恒成立问题中也有着重要体现，而恒成立问题一般是求参数的取值范围，在试题中分两种情况存在：在R上求参数取值范围和在给定区间上求参数取值范围，不妨先分析前一种情况，如例1.

【例1】若不等式kx2+kx-1<0对一切实数x恒成立，则k的取值范围为.

【分析】我们不妨令f(x)=kx2+kx-1，那么问题转化为对∀x∈R,都有f(x)<0，求k的取值范围.此时，函数f(x)较为简单，学生并不陌生，可直接对f(x)进行考查，这时我们需要对k进行分类讨论，易知当k=0时满足题意，当k≠0时，不等式中的恒成立问题便是直接对二次函数进行考查了，我们只需要确保二次函数图象开口向下且与x轴没有交点即可，像这样的不等式恒成立问题，我们利用到了分类讨论思想、函数思想和数形结合思想很容易求解.

【分析】有时我们考查的函数较为复杂，亦或是由于含有参数的原因，需要分类讨论的情况较多，这时直接构造函数进行分析时可能较为烦琐，如果参数可分离，将剩余部分看成一个整体，设成相应函数，再进行分析，可能会有意想不到的效果.下面看看用该方法解例1.

(1)当x2+x=0时，k∈R.

【分析】在例1中，我们发现方法2比方法1较为烦琐，其原因在于x2+x的符号需要进行讨论，倘若对于kf(x)>a(a≠0)，知道f(x)的符号，那么采用方法2较为容易，而这种情况在给定区间上求参数取值范围较为常见，因为区间给定，f(x)的取值范围就知道了，不妨看看例2.

【解析】由(a-a2)x2+x-a+a2≤0⟹(a-a2)(x2-1)≤-x，

像上述不等式的问题，我们很容易联想到函数，利用函数解决问题.

2.在比较大小中的应用

【例3】已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2，c-b=4-4a+a2，则a,b,c大小关系是( )

A.c≥b>aB.a>c≥b

C.c>b>aD.a>c>b

【分析】两个实数大小的比较，可用作差法或是作商法.通过观察发现b+c和c-b都是关于a的表达式，易联想到作差法比较a,b,c的大小，且若b和c能够表示成a的表达式，则可将a-b或b-a，c-b或b-c，a-c或c-a看成是关于a的函数，然后进行分析.

【解析】由题意可知，b+c=6-4a+3a2①；c-b=4-4a+a2②.

①-②得，b=a2+1，故b-a=a2-a+1(将b-a看成是关于a的二次函数，易知函数开口向上，且Δ=1-4<0)，故b-a>0，即b>a.

c-b=4-4a+a2=a2-4a+4(将c-b看成是关于a的二次函数，易知开口向上，且Δ=16-16=0)，故c-b≥0，即c≥b.

故c≥b>a，故选A.

【例4】已知a，b是实数,且e

在比较两个实数大小中涉及函数思想问题，有时不易直接看出需要构造的函数，这时还需解题者具备一定的观察能力、分析能力，通过化归与转化思想，然后构造出相应函数，从而解决问题.

3.在方程中的应用

方程与函数有着密不可分的联系，在人教版必修第一册(A版)中将一元二次函数、方程和不等式放在一起作为第二章内容，正是因为他们有着密切联系，对解题有帮助，且对学生日后解决复杂方程问题提供重要的数学思想——函数思想.在方程中，经常遇到方程有根问题、零点问题，均可构造相应函数，通过考查函数的性态解决问题，如例5.

【例5】方程ex+3x=0实数解的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【分析】直接解方程ex+3x=0显得十分困难，或是当下无法求解，若利用化归与转化思想，将题目改成函数f(x)=ex+3x有几个零点问题，即函数f(x)=ex+3x与x轴有几个交点的问题，将方程问题转化成函数问题，可能会有意想不到的收获.

【解析】设f(x)=ex+3x，则f′(x)=ex+3>0，故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，又因为当x→-∞时，f(x)<0，当x→+∞时，f(x)>0，所以f(x)在(-∞，+∞)上有且仅有一个零点，则方程ex+3x=0在R上有且仅有一个实数根，故选B.

函数在方程中的体现除了利用函数本身的特性解相关方程问题之外，函数的图象也是一种十分重要的工具，有时我们需要借助函数的图象来解方程问题，在试题中也是常见的，如例6.

【例6】设a，b分别是方程lnx+x-2=0和ex+x-2=0的根，则a+b的值为.

【分析】直接求出a，b的值显然是无法办到的，观察发现两个方程均有x-2这个式子，那么将两个方程通过变形，得到lnx=2-x和ex=2-x，我们可构造三个函数：y=lnx，y=ex，y=2-x，并将它们的图象画出来，从图象上分析问题是否会发现“新大陆”？

从例6中可以看出，函数图象在解题中的重要作用，从图象上分析问题、解决问题就比较轻松，在例5中，我们也可将题目转化为函数y=ex与y=-3x有几个交点？画出草图后，发现只有一个交点.

4.在向量中的应用

在向量中，经常遇到求最大值、最小值以及取值范围的问题，有关最值或是取值范围问题一定是题目中存在某一量在变动，显然是直接对函数进行考查.在向量中能够发现函数的影子，无非是将有关向量知识点融入到函数中对学生进行考查，其本质还是函数问题.

A.[-5,3] B.[-3,5]

C.[-6,4] D.[-4,6]