2022年高考全国卷基本不等式试题分析及备考建议

2022-11-30云南魏福雄

教学考试(高考数学) 2022年6期

云南魏福雄

基本不等式是求最值的一种常用工具，在高考试题中常有体现.本文对2022年高考全国卷试题中出现基本不等式的试题进行了归纳，对高考试题中的基本不等式的考查形式进行了整理，并在此基础上提出了高三一轮复习备考建议.

2022年的高考已经落下帷幕，2023年的高考复习即将开始，基本不等式作为一种求最值的常用工具，在每年高考中几乎都会出现.“高考试题中对基本不等式的要求是什么？”成了我们复习备考的关键.通过对高考试题的分析，可以更加清楚对于基本不等式，高考主要考查什么，该重点复习什么.下面，笔者基于2022年高考全国卷基本不等式试题进行分析，提出复习备考建议.

1.试题统计

在2022年高考全国卷试题中，笔者对甲卷(理科)、乙卷(理科)、新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷进行了整理分析，其中可以借助基本不等式解决的试题有8道，详见表1.

表1 考点统计

根据表1，我们可以看出，除了全国乙卷(理科)的第23题之外，基本不等式基本上不会单独作为一个考点进行考查，它都是和其他知识点综合起来，基本不等式作为求最值的一种工具进行考查，而且这类题还有一个特点，就是不用基本不等式，借助导数、对勾函数、三角换元都可以解决.但是过程却比用基本不等式都要复杂.

2.典型试题分析

2.1探索取最值的条件

分析：本题主要考查解三角形，很多学生容易想到在△ABD和△ADC中分别用余弦定理，表示出AB2,AC2，这样也可以做出来，但是后面要用基本不等式，可能构造的过程就比较复杂，很多学生会直接放弃用基本不等式而用导数，以下是笔者给出的一种解法.

解析：如图，设BD=x，则CD=2x，过点A作CB的垂线，垂足为H，

因为∠ADB=120°,所以∠ADC=60°，

则BH=x+1,CH=2x-1，

AB2=(x+1)2+3，

AC2=(2x-1)2+3=4(x+1)2-12(x+1)+12，

当然，这个问题并非一定要借助基本不等式来解决，用导数，或者对勾函数也可以解决，在这里就不再展示方法了.

【例2】(2022·全国甲卷理·20)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时，求直线AB的方程.

分析：本题考查直线与抛物线的综合，还考查了三角函数，难度较大，由于时间的关系，很多学生可能算不到用基本不等式这步，然而只要算到正切这一步，学生便可以很容易地看出来用基本不等式来解决，但是需要注意使用基本不等式的条件.

解析：(1)略；

(2)F(1,0)，D(2,0)，设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

设直线MN：x=my+1，当m≠0时，

Δ=16m2+16>0，y1+y2=4m,y1y2=-4.

当m>0时，tanα>tanβ,α-β>0;

显然，当α-β取最大值时，m>0成立.

当m<0时，tanα

所以n=4，

当m=0时，M(1,2),N(1,-2),A(4,-4),B(4,4)，

直线AB：x=4,α-β=0.

【例3】(2022·全国乙卷理·9)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )

分析：本题答案是C.本题要求学生探究当球内四棱锥体积最大时的取等条件，需要学生将问题转化为三次函数，用导数或者基本不等式进行求解.

解析：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，高为h.

设四边形ABCD对角线夹角为α，

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2.

又r2+h2=1，

例1至例3这三个题，都是在探求取最值的条件，单独从题目来看，还是比较容易从基本不等式这个方向去考虑，可见高考中对基本不等式这个求最值的工具的考查还是比较重的.

2.2求最值或取值范围

解析：(1)略；

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0，

【例5】(2022·全国新高考Ⅱ卷·12)对任意x,y，x2+y2-xy=1，则( )

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

由x2+y2-xy=1可变形为

当且仅当x=y=-1时，x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；

由x2+y2-xy=1可变形为

当且仅当x=y=±1时,等号成立，所以C正确；

例4和例5这两个题，同样可以看出，基本不等式在求最值问题或取值范围的问题中是可以发挥很多意想不到的作用，当然，不用基本不等式也可以解决问题，但是用基本不等式，有些问题得到结果会快很多.再次印证了基本不等式是解决最值问题的一种有力工具.

2.3证明不等式

解析：(1)证明：因为a>0，b>0，c>0，

(2)证明：因为a>0，b>0，c>0，

当且仅当a=b=c时，等号成立.

例6主要考查不等式的证明，在不等式的证明问题中，基本不等式的作用可以说是至关重要的.

3.基本不等式考查形式分析

通过对以上六道试题的分析，笔者对它们所考查的不等式类型进行了归纳整理，详见表2.

表2 基本不等式考查形式

通过表2，可以发现，在2022年高考全国卷试题中，对基本不等式的考查形式，归纳起来，主要有以下四个：

4.基本不等式使用时机分析

为了弄清楚何时该用基本不等式，笔者对六道真题进行了分析，详见表3.

表3 待解决问题及问题转化

单独看六道高考真题的时候，学生可能不知道什么时候该用基本不等式，那看完这张表，学生应该比较清晰了，表中的几道真题都涉及最值或取值范围问题，并且有三道题涉及取等条件的探求，这就很容易把学生的思路引往基本不等式方向了.这其实也很好地体现了高考所要考查学生的能力，即应用所学知识解决问题的能力！

5.复习备考建议

5.1利用好教材和课程标准

笔者觉得，一轮复习绝对不能走马观花，还是要让学生清楚每个知识点有什么用，什么时候可以用，用的时候需要注意什么.

在《普通高中教科书》数学必修第一册(人教A版)的第46页中还有这样一句话：“基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.”这句话也告诉我们，当题目中需要求最大(小)值问题的时候，我们不妨尝试一下用基本不等式来解决.

5.2精选例题，设置题组训练

围绕2022年高考真题中出现的四个重要的不等式选择例题设置题组训练.每个不等式可以设置3个左右的例题，要有梯度，然后例题后可以附6个左右(题量可以根据学生的实际情况酌情增减)的题组训练.这样方便讲完例题之后，让学生马上进行题组练习，这样学生可能对这个不等式掌握的更透彻！但是一轮复习中，对多数学生而言主要是要培养学生看到这种类型的题，想到用基本不等式去解决的思想，在二轮、三轮中，再去强化练习.