浙江 余继光

数学基础教育研究中最重要分支是解题思维，而数学解题思维中最重要的两个方面内容，一是数学解题思维痛点(漏点、错点、智慧点缺失等，本质上就是易错点)剖析研究；二是数学解题经验积累，包括教学经验与学习经验，研究的方法就是思维剖析(最有效最真实的是答题情况分析)、案例研究、统计分析、大数据研究.

解三角形一般被认为是较容易的一类题，然而面对较复杂的求解三角形的综合问题，许多学生无法越过众多数学思维障碍，导致求解失败.分析失败的成因，在已知三大定理与一大公式(内角和定理、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式)的基础上，如何识别数学情境中隐藏的代数或三角结构成为关键，只有在数学思想的引领下，经过熟练的三角变换或运算将三定理与一公式有机串起来，链接能力才能形成.

1 运算不熟练不到位之痛

解三角形的综合问题离不开代数与三角运算，比如，遇到高次函数时的换元降次，遇到无理函数时，借助于三角代换转化为有理函数等.

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)设b=c，N是△ABC所在平面上一点，且与点A分别位于直线BC的两侧，如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值.

又a2=2b2，

四边形ABNC的面积

令t=8cosθ(0<θ<π)，

易错点：面积函数中遇到高次表达式、无理函数时，缺少降次意识与无理转化为有理的技术.

痛点分析：

(1)第(Ⅰ)问，边角之间的灵活转化是求角A的关键，合一变换以及解三角方程是基本功；

(2)第(Ⅱ)问，如何选择变量建立面积函数是一个智慧点，根据题设给定的边的关系以及对角A的确定，从而找到a2=2b2是一个关键点；

(5)最后借助于合一变换，化简函数，利用正弦函数有界性求出函数最大值.

2 三角变换不熟练之痛

几何问题中的代数问题，比如求最值，需要建立目标函数，涉及选择参变量，建立数学模型，而复杂的三角模型需要通过三角变换转化为标准的三角函数，此过程的基本功就是三角变换力.

【问题2】(2019·稽阳联考改编)等腰直角△ABC中，AB=AC=1，在AB,AC上分别取D,E，沿DE折叠，A恰好落在边BC上，则AD的最小值为________.

解析：A在BC上投影为P，

易错点：在复杂三角形中缺少引参技术，建模技术，平面几何与三角函数的基础掌握不牢.

痛点分析：

(1)一是审题能力不足——不能理解题意把握问题本质：几何信息代数化、三角化，为建立函数模型打下基础；

(2)二是方法不得当——不能将几何条件转化到三角形式，不会选择一个角与目标量建立关系，不能迅速建立目标函数来解决给定的问题；

(3)引入角建立目标函数是一个痛点，分析三角形内各角之间的联系也是一个痛点；

(4)通过两个三角形内运用正弦定理，找桥、用桥、然后拆桥(BP)，建立AD的目标函数——数学模型，利用三角函数有界性确定函数最值.

3 隐藏条件挖掘不到位之痛

看似简单的代数条件可能隐藏着关键的几何关系，通常的字母到数的思维可能转变为由数到字母的变形，从而找到问题的结构.

【问题3】(2020·天利图书联考改编)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边，若a=4，c2=2b2-32，则△ABC面积的最大值为________.

解法1：(建立面积函数，进而求函数的最大值)

从而可知，当b2=80时，△ABC面积最大，最大值为16.

解法2：(利用余弦定理边角互化)c2=2b2-2a2.

又b2=c2+a2-2accosB,

两式联立可得c2=2c2-16ccosB，c=16cosB，

解法3：(挖掘直角三角形的性质)

如图，过C作AB的垂线交AB于点D，

在两个含高CD的直角三角形中，

令BD=x，则AD=c-x，设CD=h,

所以b2=(c-x)2+h2，a2=x2+h2,

从而可得ch≤32，则△ABC面积最大值为16.

易错点：建立面积函数遇到高次和无理函数时，缺少对结构的把握，三角形的边角转化技术不牢.

痛点分析：

(1)解法1中挖掘余弦定理与三角形面积公式间的关系，不了解则产生障碍与痛点；

(2)解法2中挖掘余弦定理结构特征与三角函数有界性关系，智慧点达不到产生痛点；

(3)解法3中挖掘直角三角形中边角关系，挖掘不到位产生痛点.

4 题设条件挖掘不到位之痛

三角形中3条边3个角不是独立的变量，受到“三定理一公式”的制约，还受到三角函数的制约，寻找到它们之间的联系才能突破问题的障碍.

化简得a2+h2-mn=3ah，c2=m2+h2,b2=n2+h2,

则a2+b2+c2=2h2+m2+n2+a2=2a2+2h2-2mn=6ah=24.

整理得a2+b2+c2=24.

易错点：三角形中边角之间的联系信息挖掘不到位，链接不到位，转化不到位.

痛点分析：

(1)解法1中利用三角函数定义将角的关系转化为边的关系，挖掘不到位产生痛点；

(2)解法2中将正切函数转化为正余弦函数，然后利用正弦与余弦定理转化到边的关系，挖掘不到位产生痛点.

5 缺少“边角统一思想”之痛

解斜三角形问题时，对于边角之间的数量关系，需要通过“三定理一公式”将其统一起来，发现内在联系与结构，缺少“统一”思想，处处遇到障碍.

6cosCsinAsinB=sin2A+sin2B.

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，

结合正弦定理c=2RsinC，b=2RsinB，a=2RsinA，

代入得sin2C=sin2B+sin2A-2sinBsinAcosC

当A=B或a=b时满足题意，

易错点：主干条件转化缺少统一到边、统一到角的思想，目标结论三角变换公式不到位.

痛点分析：

(1)解法1在统一到角的思想支配下进行推理，缺少者产生痛点；

(2)解法2在统一到边的思想支配下进行推理，缺少者产生痛点；

(3)对轮换结构思想不了解，不会想到解法3.

6 缺少多角度审视三角形之痛

高考数学中的解三角形问题，题设条件是命题专家精心设计的“局”，学会多角度审视其中的条件结构，深入的挖掘隐藏的内容，一般都可以突破.

解法1：(解三角形法)

解读：通过分析给定三角形的特征，由△ABM中的边角数量关系过渡到△ABC中边角数量关系，在△ABM中(斜三角形)利用正弦定理，在△ABC中(直角三角形)利用三角函数定义，运算思路清晰，运算的关键点是寻找AC与BC的大小关系.

解法2：(三角函数定义法)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图直角坐标系，

所以8c2=(a+b)2①.

又由勾股定理知b2=a2+c2+(b-a)2+c2②，

解读：利用三角函数定义，将∠CAB与∠BAM的AB边为始边，把研究这两个角的正弦值转化为研究点M，C的坐标之间关系，回归三角函数定义是多么地令人鼓舞！

解法3：(三角形面积法)AC=b,BC=a,S△ABC=2S△ABM，

解读：从上述两解法中可以看出，寻找AC与BC的大小关系是问题的突破口.而解决这一突破的方法还有许多，比如利用三角形面积S△ABC=2S△ABM，以及直角三角形的勾股定理！

解读：类似于三角形面积法一样，寻找AC与BC的大小关系是问题的突破口.借助于向量运算及正弦定理也能解决这一障碍.

解法5:(三角变换法)设BM=MC=1，AC=x，

解读：三个角∠CAB，∠BAM，∠CAM之间的关系：∠CAB=∠BAM+∠CAM，很容易联想到两角和的三角函数正切公式，把这一公式与三角函数定义沟通，就可突破！

易错点：在复杂三角形中，寻找“桥”变量的意识不到位，不会在不同三角形中搭桥铺路.

痛点分析：

(1)解法1突出分析三角形中的边角关系；

(2)解法2突出利用三角函数定义将三角函数与点的坐标紧密联系；

(3)解法3巧妙利用三角形面积关系寻找到边与边间的数量关系；

(4)解法4巧妙利用向量工具寻找到边与边间的数量关系；

(5)解法5突出利用三角变换工具求出目标函数的值.

7 缺少三角运算力之痛

三角函数有其固有的规律，角的规律与边的规律不同，前者借助于三角变换与运算，后者借助于代数变换与运算，两者之间灵活地转化与串联是智慧，缺少就是易错点，就是痛点.

(Ⅱ)若BC=17，CA=6，求AB;

(1-λ)2(1-cosA)(1-cosC)=2λ2(1-cosB),

易错点：对已知信息中正切函数与余弦函数间的联系，链接余弦定理的意识不到位.

痛点分析：

(1)问题(Ⅰ)中半角的正切与余弦定理间的联系推不出而产生思维痛点；

(2)问题(Ⅲ)中代数式的推演能力达不到而产生痛点.