江苏 张启兆 刘晓洁

函数作为高中数学内容的一条主线，对整个高中数学有着重要的意义，每年高考卷都将其作为必考题.含有全称量词与存在量词的不等式成立问题，也是高考的高频考点，考生在遇到这一部分的试题时常常出现错误.对此本文以2022年苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学第12题为例，对含有全称量词与存在量词的函数题中,因不理解全称量词与存在量词的含义及不会等价转化致误的易错点进行剖析，并提出了相应的解题策略.

一、试题呈现

【答案】AB

【解题思路】

等价于函数f(x)在(0,+∞)上没有最小值，

【易错：问题的等价转化】

【易错：不会将f′(x)转化成适当的代数式乘积的形式】

(1)当a≤0时，当00，当x>1时，f′(x)<0，即f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

则当x=1时，f(x)max=f(1)=ea-1，f(x)的值域为(-∞,ea-1]，f(x)在(0,+∞)内无最小值，因此，a≤0符合题意；

【易错：忽视对参数a的分类讨论】

如图，在同一平面直角坐标系内作出直线y=a与函数y=g(x)的大致图象.

当0x2时，f′(x)>0，

即函数f(x)在(0,x1)，(1,x2)上单调递减，在(x1,1)，(x2,+∞)上单调递增，

函数f(x)在x=x1与x=x2处都取得极小值，f(x)min=min{f(x1),f(x2)}，不符合题意；

【易错：不会虚设零点x1,x2】

即f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(1)=ea-1，不符合题意.

综上所述，实数a的取值范围是(-∞,0]，

所以满足条件的实数a的可能值有-1，0,故选AB.

【易错提醒】含有全称量词、存在量词的同一函数的不等式成立问题，关键是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转换”：

形如“对∀x1∈A，都∃x2∈A，总有f(x1)

形如“对∀x1∈A，都∃x2∈A，总有f(x1)>f(x2)成立”等价于“函数f(x)在A上没有最小值.

问题等价于函数g(t)=at-lnt(t≥e)在[e,+∞)上无最小值.

①当a≤0时，g(t)在[e,+∞)上单调递减，当t→+∞时，g(t)→-∞，符合题意；

g(t)有最小值，不符合题意，舍去.

综上所述，实数a的取值范围是(-∞，0],

所以满足条件的实数a的可能值有-1，0,故选AB.

因为∀s∈(0,+∞)，总∃t∈(0,+∞),使得f(t)

①当a=-1时，h′(t)<0，h(t)在[e,+∞)上单调递减，无最小值，A正确；

②当a=0时，h′(t)<0，h(t)在[e,+∞)上单调递减，无最小值，B正确；

④当a=1时，h′(t)>0，h(t)在[e,+∞)上单调递增，h(t)有最小值h(e)，D错误.

解法4(检验法):考虑到本题是多选题中的压轴题，对于大部分学生来说，看到本题怎样快速抢2分，优秀学生如何快速得5分,可以使用代入检验法.

(易错：解题方法不灵活，不会用检验法)

因为求的是a的取值范围，而给出的4个选项是具体的数值，从选择值的判断来说，优先选择B，画出函数f(x)=-x+lnx的大致图象(如图1)，发现它不存在最小值，符合题意.

图1 图2

二、易错数据

以一个班级为样本的易错数据分析：

易错数据分析表易错点名称不理解全称量词与存在量词的含义及不会等价转化致误题源名称2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学第12题班级总人数48该题平均得分1.51得分情况5分(满分)2分(部分选对)0分人数62121

三、易错分析

该题是多选题的压轴题，难度较大，从考试结果来看，得分率也极低(平均分1.51).本题以指、对数函数为载体，综合考查导数的应用，以及含有全称量词、存在量词的不等式成立问题的转化策略，题干简约，背景新颖，对数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养有较高的要求.许多同学一见到此题，就感到信心不足,函数解析式中既有指数函数又有对数函数，有两个参数，还有全称量词、存在量词，做题过程中极易出错.笔者分析主要会在以下四个方面存在问题：

(1)不理解全称量词与存在量词的含义，“若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得f(t)

(2)审题时没有注意到本题中只有一个函数，而误以为是两个不同的函数，套用结论“已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d].若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)

(4)不会利用分类讨论、数形结合思想解决函数问题.

四、易错练习

【解题思路】对于定义域内任意x1，总存在x2，使得f(x2)

所以函数f(x)在其定义域内无最小值，

【分析】根据给定定义可得函数h(x2)在[0,2]上的值域包含函数y=2a-x1在[0,2]上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.

【评注】若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)，则f(x)的值域是g(x)值域的子集.

五、教学启示

该题重视基于数学素养的关键能力的考查，在数学知识层面、数学能力层面和创新思维层面都有所体现，对数学教学具有重要启示意义.

1.注重过程，提升思维品质

重视基本知识和技能的学习，注重过程，让问题探究成为课堂的中心与主线，从而拓展知识的深度，提升思维品质，培养创新意识，进一步提高素养，这是一个循序渐进的过程.布鲁纳曾说：“我们教一个科目，不是去建立一个有关该科目的小型图书馆，而是要学生自行思考，像一名数学家那样去思考数学，像史学家那样去探索历史，投入到获得知识的过程中去.”如果教师在准备高三数学复习课时能多在学习策略、思考方法和探索途径上下功夫，用“问题串”驱动学生思维，促进学生深度学习，那么高三数学复习才会有“跳出题海”的希望，进而达到培养学生思维能力的目标.

2.转变角色，教为主转向学为主

今年的高考数学试题坚持“引导学校和学生减少‘死记硬背’和‘机械刷题’现象”，再一次启发教师要转变育人方式，重视学生的主体作用与合作探究，坚决摒弃课堂教学“满堂灌”；重视新教材中的“拓广探索”“探究与发现”，引导学生建立知识体系，促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构；重视从以教为主转向以学为主，要精准分析学情，精心设计数学探究活动；重视自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等多种学习方式，以达到提高复习效率、提升学生“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)的目的.

3.改变教学方式，重视主题教学、深度学习