张 鹏

江苏省扬州市梅岭中学 225000

由于七年级学生知识储备不够，没有认识无理数的现实经验，因此学生理解无理数存在一定的困难.如何建构无理数概念呢？如何使用有限逼近、合情推理的方法，让学生认识无理数呢？在学习无理数的过程中，如何落实数学素养的提升呢？笔者就本节课教学展开讨论，与大家分享笔者的教学实践与思考.

教材分析

经过前一节课的学习，学生已经了解了正数、负数的意义，构建了整数体系与分数体系，让数集体系得到了进一步的扩展.本节课将学习两个重要的概念——有理数和无理数，无理数是对数系的又一次扩展.教材这样安排教学内容是基于知识的延续性，学生学完有理数与无理数后，对后面学习数轴、在数轴上表示数、完善数系都有很大的帮助，有助于发展数学思维，也避免了圆周率π无处安放的尴尬.

本节课的难点在于无理数的认识.由于在学生的现实生活中，与无理数相关的信息实在太少，仅有的内容是圆周长计算与圆面积计算时接触的圆周率π.同时，对于研究“无限”，学生也缺乏经验，因此建构无理数的概念具有一定困难.教材安排了这样一个操作活动，让学生感知无理数的存在，即用两个边长为1的正方形，沿对角线剪开后得到四个等腰直角三角形，然后拼成一个大正方形，它的面积是2，求它的边长；然后教材运用列举法与逼近法，让学生感受大正方形的边长无法写成分数的形式，它的值是一个无限不循环小数，最后得到无理数的概念.为了让学生进一步感受无理数的存在与多样，强化对无理数的认识与理解，教材出示了圆周率π，自行构造无限不循环小数.

为了让学生积累数学经验，发展思维能力，提升数学素养，笔者确定本节课的教学目标如下：（1）分析前面学习的整数与分数，猜想是否存在其他的数，既不是整数，也不是分数；从有限小数、循环小数的角度猜想是否存在无限不循环小数.（2）制作面积为2的正方形，体会它的边长不能写成分数的形式.（3）在分析比较、归纳猜想的过程中，感受有理数与无理数的存在，通过无理数发现的历史故事，帮助学生感受数学家探索真理的精神，激发学生学习的信心与热情.

教学过程

1.回顾旧知，引出新知

活动1：回顾发现.从各个不同的角度写几个具体的整数与分数，然后解决以下的问题：（1）尝试把这些数都写成两个整数比的形式，并总结你的发现.（2）尝试把这些数都化成小数的形式，并总结你的发现.（3）尝试把下面的小数写成分数的形式：1.2，-6.8，32.31，1.3333…，58.6666….把你的发现与同伴交流分享.

设计意图本活动通过三个问题先让学生独立思考，再交流研讨，旨在复习前面学习的整数与分数的意义，让学生充分体会所有的整数都可以写成分数的形式，整数与分数都可以化成小数的形式；反之，不论是有限小数还是循环小数都可以化成分数的形式.在独立思考与交流合作中，培养学生的思考力、合作意识与语言表达能力.

2.精准建构，探索新知

活动2：合理猜想.前面我们学习了有限小数与循环小数，请同学们想一想，除了这两种小数外，还会有什么样的小数呢？如果存在，试着写几个出来，与其他同学交流分享.

设计意图本活动旨在引导学生观察有限小数与循环小数的特征，进而发现无限不循环小数；同时，鼓励学生自行构造形如3.12112111211112…这样的无理数，感受无限不循环小数的存在，培养学生的分类意识与创新意识.

活动3：拼图讨论.如图1所示，把两个边长都是1的正方形，沿它们的对角线剪开，然后拼成一个大正方形.请回答：（1）设大正方形的边长为x，那么x是整数吗？你的理由是什么？（2）x是分数吗？说说你的想法.（3）通过上述探究，请估计x所处的范围，并说出你的想法，尝试估计x的整数部分、十分位、百分位，等等.（4）请写出关于x的一个特征，在小学学习数学中遇到过类似的数吗？请介绍一下.

图1

设计意图本活动引导学生识图，按图示拼图，发现拼成了一个面积为2的正方形，让学生思考：这个正方形的边长是多少呢？从而开启学生发现此正边形边长的探索之旅.从直角三角形的斜边长可得正方形的边长x一定大于1，从三角形“两边之和大于第三边”可得正方形的边长x一定小于2；或者根据12=1，22=4也可得正方形的边长x在1与2之间，不是整数.通过分母分别是2，3，4的分数的平方进行计算，发现x也不是分数.然后引导学生从x的整数部分、十分位、百分位、千分位等数位估算x的值，让学生体会到x不是整数，也不是分数，而是小数，且是无限不循环小数.在此过程中，学生能体会到无限逼近与合情推理等数学思想.

活动4：合理分类.从上面的讨论可以看出，小数可以分为哪三个类型？前面学习的分数与整数可以化为何种小数？

设计意图本活动引领学生建构有理数与无理数的概念，形成数的分类结构图.小数可以分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数，其中有限小数与无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数.

3.巩固应用，深化理解

活动5：归类与辨析.

整数集合：{ }；分数集合：{ }；负有理数集合：{ }；无理数集合：{ }.

（2）下列说法正确的是（ ）

A.无限小数都是无理数

B.无理数都是无限小数

C.有理数不是正数就是负数

D.正数都是有理数

4.课堂小结，整体建构

（1）什么是有理数？什么是无理数？本节课我们研究它们的思路是什么？（2）介绍关于发现无理数的故事.

教学后思

在数学概念教学中，作为数学教师不能忽视概念的形成过程，要触及学生的深度思考，建构学生不易遗忘的数学体系.

1.概念建构的立足点

关于数学概念的建构，教师应关注概念建构的立足点：（1）了解学生原有的认知发展区间、找到知识之间的连结点.（2）探寻学生的最近发展区，让学生“跳一跳就能摘到桃子”.（3）明晰教材的知识线以及学生的素养线.学习本节课时，学生已经学会了整数、分数与有限小数、无限循环小数的互化，这是学生认知的基点.当数系从正到负扩充到有理数后，自然会联想从有理数向无理数的扩充，笔者从无限循环小数的“循环”引导学生联想“不循环”，其中的圆周率π就是可借鉴的实例，促进了学生的认知发展[1].

2.概念建构的载体

问题是数学的心脏，也是概念建构的有效载体，这需要教师精心设置问题，让学生的思考步步深入，在多视角、多层次、全方位的探索中，使解决问题的策略与路径得到优化，通过反思归纳最终生成概念，进而使学生的思维得到发展.本节课通过前置的三个问题构建了分数与小数之间的联系，然后通过求异思维猜测新数是否存在；接着制作面积为2的正方形，揭示无理数的本质特征——无限不循环；最后用分类的方法建构了有理数与无理数的概念.

3.概念建构的原则

概念的建构应遵循“以生为本”的原则，唤起学生的主体意识，创建生成型课堂.本节课设置的数学情境立足学生已有的认知水平，在教学的推进过程中，通过设计有层次性、引导性的问题，创造自主探究、合作交流的学习氛围，让学生积极参与数学活动，在自主探究、合作交流中，实现了学生的全员参与，使其感受到了数学探究的苦与乐，积累了有效的数学活动经验.

4.概念建构的落脚点

数学教学的落脚点是传承数学文化、形成核心素养.章建跃教授指出，教师要理解数学、理解学生、理解教学.理解数学是指挖掘数学知识的内在价值与逻辑，关注数学文化，引导学生从数学的角度认识世界；理解学生是指把握学生的认知水平，以学生可以接受的方式表达数学内容；理解教学是指掌握数学教学规律，锤炼教学智慧，形成多样教学方法[2].本节课中，笔者基于理解数学、理解学生、理解教学，立足教材的知识线以及学生的素养线，合理安排无理数概念的构建过程，培养了学生数学抽象、逻辑推理等核心素养.