孔春芳

江苏省苏州工业园区斜塘学校 215123

理解是学习者探究事实意义的结果，教育中怎样强调概念理解的重要性都不过分.理解既是智慧而有效地使用知识和技能，又是努力后了解的结果.真正的理解，包含另一种形式的迁移，可迁移的理解是评估学生在不同情境中审慎且有效应用知识的能力，理解的6个侧面“解释、阐明、应用、洞察、神入、自知”表现了迁移的能力.知识只需要获取，但理解必须是领悟.传统的概念教学有两个误区，一是只动手不动脑的活动导向设计，二是灌输式学习设计.学生根据教材或教师的讲授，在规定时间内学习内容，在两种类型的概念教学中能领悟哪些相关知识呢？因此UbD逆向设计了三个阶段：先确定预期的结果，再确定合适的评估依据，最后设计学习体验.这样的前后顺序，有效确保了整个教学环节，始终围绕教学重点，既提高了设计的协调一致性，又提高了教学的有效性.下面笔者将探究基于理解的初中数学概念深度学习策略.

概念引入，分为四种概念引入类型

（1）由生活实例引入.数学源于生活又服务于生活，比如负数的引入，在人们的日常生活当中，实际上都不乏用负数表示的现象.如电梯上表示楼层有1，2，-1，-2，…；再如冬天的某城市最低温度是-3 ℃，冰箱的冷冻室是-18 ℃.这些负数的意义是什么呢？小学生都不难理解.因此一句话“像-1，-2这样的数叫作负数”就引入了概念.但如果这样去传授负数概念，那么学生就会失去很多.实际上，教师应该先让学生感受到现实世界充满了具有相反意义的量，从而认识到数学与人类生活的密切联系.那么，为什么要引进负数？为什么要这样表示？负数的现实意义和文化价值是什么？教师可以展现给学生负数产生、发展的历史，让学生体验到数学活动充满着探索和创造，从浅显的知识中挖掘出深刻的内涵，这样学生才会深刻地理解负数的含义，在书写和计算时才不容易丢失负号.

（2）由概念背景引入.比如平方根概念：求平方根是平方运算的逆运算，也是对今后学习二次根式的预备知识，还是应用直接开平方法解一元二次方程的重要依据.平方根概念处于非常重要的地位，起着承前启后的作用.平方根概念本身较难理解，更源于对根号的极度陌生，在代数符号的发展中，隐含了结构性概念的逐步演化，使得符号形式可以结构性地用来作为概念的一部分，正是这种符号的发展，以及代数概念具有抽象的结构性特征，导致了概念学习的障碍.传授平方根概念时，如果直接给出概念，学生并不理解平方根前面为什么要加正负号，不能识别符号语言的基本属性以及其所表示的数学对象.因此，教师应该先引导学生通过求面积为4的正方形的边长是多少、面积为3的正方形的边长是多少、面积为2的正方形的边长又是多少，让学生理解如果把正方形的边长设为x，像x2=2或x2=3或x2=4这样的x是客观存在的，并且可以借助计算机知道它的近似值，这样的数是无限不循环的.为了进一步研究这样的数的运算性质，教师设法用符号来表示.比如n个a相乘记作an，a的平方根就表示为再通过一些实例让学生自己归纳正数、0、负数的平方根的情况，然后介绍开平方.

（3）由问题引入.比如说方程，它是表达数量之间相等关系的“天平”，是刻画现实世界的有效的数学模型.方程的出现源于实际问题，要让学生经历“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”这样的方程学习过程，体会方程的应用价值.问题情境要从学生的生活实际出发，比如苏科版“一元一次方程”的“章起始课”中就创设了“天平称小球”“篮球比赛得分情况”以及“小红和爸爸的年龄问题”等与学生生活相关的情境，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到方程源于生活，又是解决实际问题的好工具.然而有些教师总认为，进入方程学习如果先从问题出发太烦琐，为了让学生认识方程的特征，给出几个方程让学生辨认一下就可以了，忽略了概念的生成过程.

（4）从旧知识与新知识的关系引入，温故而知新.比如说平行与垂直：学生在小学里已从生活实例中引入了平行和垂直的概念，以及平行线和垂线的画法；但小学里没有介绍平行和垂直的表示方法，以及平行线和垂线的基本性质（基本事实）.因此，课程中要强化平行线和垂线的表示方法，并通过观察、操作、思考等活动探索平行线和垂线的基本性质（基本事实），从内部感知平行线的存在性、唯一性（有且只有）.要引导学生用比较规范的语言来表达所发现的事实，这样有利于提高学生的理解水平和有条理的能力.

概念的讲解，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂

可以从以下几种数学思想方法进行：

1.类比法

在数学中，类比法是最通俗易懂且基于学生的最近发展区便于应用的数学思想方法之一.类比法在初中数学教学的方方面面都发挥着积极的作用.类比法是发展概念、定理、公式的重要手段，是提出新问题和猜想的重要方法，更是探索问题、解决问题的好工具.比如学习角平分线的概念可以类比线段中点的概念，角平分线的符号语言也可以类比线段中点的符号语言，角平分线的性质以及逆定理都可以通过线段的中垂线的性质和逆定理进行类比学习.利用知识迁移，可以让学生自行归纳和总结关于角平分线的相关概念，能使学生的理解更清晰.

2.数形结合法

“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”比如绝对值概念对于刚进入初中的学生而言，理解起来还是比较抽象的.苏科版七年级上册是把绝对值概念分为两课时来陈述的，先陈述的是它的几何意义，揭示了绝对值的“非负性”；再陈述的是它的代数意义，揭示了一个数的绝对值与该数的关系.先陈述几何意义，就是让学生通过一个数到原点的距离来直观地理解绝对值的概念.理解了绝对值的几何意义，再通过分类讨论就不难理解它的代数意义了；理解了“到原点的距离”表示一个数的绝对值，对于绝对值的变式拓展也不难理解了.比如求的最小值，求的最小值，求的最小值等，都是通过画数轴、用两点之间的距离来解决的.

3.变抽象为具体

例如，2020年苏州市初二阳光水平测试中的一道题：

如图1所示，用x表示A 中的实数，y表示B中与x对应的实数，且y与x满足一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）.

图1

（1）π是A中的实数，则B中与之对应的实数是________；

（2）点（a2+1，2-a2）在该函数的图像上吗？请说明理由；

这道题重点考查的是一次函数概念.函数教学中应该选取多个具体实例，使学生能够体会函数是描绘客观世界变化规律的一个重要模型.对初中学生来讲，丰富的实例会给他们留下怎样的印象呢？笔者认为，实例让学生在体会函数反映事物变化规律的同时，会产生一些错觉.比如自变量不同，因变量也不同，而函数值也会随着自变量的变化而变化.确定因变量与自变量的关系法则是有规律的，这个规律总可以用一个式子描述出来，但教师知道这些都不是函数的本质——变化不是函数的本质，可以用式子表达出来也不是函数的本质，对应才是函数的本质.只有抓住了这个本质进行函数概念教学，才能让学生理解“对应关系”，理解函数.

概念的巩固

1.通过数学实验进行概念巩固

用数学实验可以引领数学概念的理解性教学.比如苏科版七年级上册“无理数”的概念教学，如果直接给出无理数的概念，是非常抽象和不能理解的，教师可以设计数学实验环节来增强学生对无理数概念的理解.比如利用拼图活动将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，求其边长是多少；将两个边长为1的小正方形，沿一条对角线剪开后重新拼成一个大正方形，求其边长是多少、面积是多少.然后继续追问：若设它的边长为a，则a2=2，你认为a是有理数吗？可能是整数吗？a可能是分数吗？接着通过计算排除a是整数和分数的可能性：知道12=1，22=4，32=9，所以a不是整数；计算的平方，用这种“逼近法”让学生在探索的实验活动中体会“无限”的过程（找不到一个分数的平方等于2，排除a为分数），从而引出无理数的概念，引导学生感悟无理数的客观存在性，为八年级上册“实数”的学习、进一步认识无理数奠定基础.

2.可以通过变式训练使学生从不同的侧面理解概念的本质属性

以乘法公式中的完全平方公式为例，传统的教学模式是先用代数方法得到公式带给学生，然后展现几何直观的无字证明图形，仅作了解几何背景的用途.学生知道多项式与多项式相乘归纳出乘法公式，但找到公式规律后，如何运用公式以及如何图证公式是毫无印象的，对图形与公式的联系不甚理解，没有掌握数形结合思想，无法理解公式中的数如何转化为形，无法充分利用图形证明公式，这些方面都无法突破.因此笔者认为，可以用几何方法来引形助数，然后用多项式与多项式相乘的法则验证公式，再介绍公式的名称并用文字语言进行叙述，最后让学生观察公式并找出公式的特征.完全平方公式具有“首平方，尾平方，两数乘积中间放”的特征，可以让学生感受公式的对称美.对于公式的变式运用，以及公式的拓展，教师可以对它进行底数和指数的变形：一是对底数进行变化，即逐渐增加字母，如（a+b+c）2，这里就要体现整体思想的运用，将a+b或b+c看作一个整体进行运算，梳理出完全平方公式的拓展形式，在此基础上引导学生继续学习（a+b+c+d）2，并让学生尝试用文字语言描述规律——几个数和的平方等于这几个数的平方加上它们的每两项积的两倍，让学生再次对比符号表述与语言表述的不同，感受到有些时候用文字语言表述某些乘法公式或运算性质也是比较简洁的.二是对指数进行变化，即把次数“2”逐渐增加为“3，4，…，n”，这时就可以通过前几个式子的运算尝试找出公式的规律.当然，这是高中的二项式定理，对于初中生来讲是有困难的.此时，介绍一下“杨辉三角”就变得顺理成章了.这时对完全平方公式的对称性的认识以及整个公式的验证推理，学生就可以较好地掌握了.在完全平方公式概念教学的设计上，教师可以通过“操作—探索—归纳—发现”带给学生不一样的心得和感受，若教师始终认真地“引”、严谨地“纠”，让学生充分地思考，并与教材对话、与同伴对话，深度学习自然而然就发生了.

概念的运用

概念的运用需要经过从概念生成到概念理解这样一个过程.比如说勾股定理，计算两点之间的距离和已知直角三角形的两边长求第三边长等都是勾股定理的运用.美国马萨诸塞州综合评估系统曾经统计过运用勾股定理是学生的短板.运用勾股定理要求学生理解勾股定理，并将其迁移到新的问题情境中，然而很少有教师意识到，为了应试而让学生反复进行练习其实是一种失败的教学策略.如果把a2+b2=c2当作事实来讲授，当作一种计算规则，学生显然就无法基于理解来牵引他们所学的知识了.因此，基于理解的勾股定理概念的生成还是要以探索勾股定理的过程为基础.探索过程可以利用这样的活动进行：活动一，可以利用方格纸中的格点，以直角三角形的三边向外作三个正方形，猜想它们的面积的数量关系，感受数到形、形到数的联想，感悟数与形的内在联系.活动二，利用方格纸让学生自行设计一个直角三角形，每条边向外作正方形，继续探索三个正方形面积之间的关系，从大量的实验数据中猜想直角三角形三边的关系，这是合情推理的过程.而从合情推理向演绎推理的过渡，就是一个难点；重点在于多种验证方法的探索，引导学生较多地感悟数与形的完美结合，用多种方法来计算同一个图形的面积，从而得到数量关系.这样的概念运用才会巩固概念理解.

约翰·杜威在《我们如何思维》中对理解做了清晰的总结，他认为没有概念生成的过程，就不能获得任何知识的迁移，更不能对新体验产生更好的理解.数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学家认识事物的思想结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材.因此，每位教师要在基础课中讲清楚数学概念，让学生在理解的基础上深度学习数学概念.