宋世超 王彬, 2 李鹏, 2† 钱征华, 2† 马廷锋 鹿澳沣

(1.南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室， 南京 210016)(2. 南京航空航天大学 深圳研究院，深圳 518057)(3. 宁波大学 冲击与安全工程教育部重点实验室， 宁波 315211)(4. 航空工业金城南京机电液压工程研究中心， 南京 211106)(5. 航空机电系统综合航空科技重点实验室， 南京 211106)

引言

水平剪切波，即SH波，其质点的振动方向与传播方向垂直且位于水平平面内，能够在弹性层中产生并传播.由于SH波不易发生模态转换，在遇到非连续界面或结构边界处能量损失较小，因此被广泛应用于信号分析及缺陷检测[1-4].SH波在辐射图像降噪中可以更好地保留边缘及细节信息，因此也被应用于超声成像领域[5].此外，基于SH波的弹性成像技术已被证明在预测肿瘤、癌症等疾病的医学诊断中有较好的应用前景[6-9].

均匀弹性板中的SH波包含很多模态[10-12]，由低到高分别为0阶、1阶、2阶等，其中最低阶水平剪切波(即SH0)具有非频散特性，其波速只与材料参数有关，与频率及板的结构尺寸无关[10].这种非频散特性是一把双刃剑：一方面，非频散特性在结构健康监测和无损检测领域具有很大优势，因为波在传播过程中不会出现畸变，易于识别；另一方面，非频散特性不利于波的人工控制，因为通常很难通过结构尺寸对波的传播特性进行调节.然而，声子晶体和声学超材料的出现，使得对其传播进行控制出现了转机[13,14].

声子晶体和声学超材料是新型的人工结构功能材料，具有其他材料所不具备的负折射、声吸收、缺陷态等一系列特性，应用前景广阔.以其能带结构为例，声子晶体和声学超材料可以用来控制弹性波的传播，弹性波可以在其通带频率范围内传播，而在带隙频率范围内弹性波的传播会受到抑制[15]，因此用于结构的减振降噪[16].近年来，随着技术的发展，基于超材料控制声波能量、实现聚焦功能的声学透镜被相继实现.一般说来，声学透镜的设计均基于声子晶体和声学超材料的概念，其结构参数(如胞元的尺寸、排列方式等)按照某一特定的规律变化，如以气体为填充物的轻型声透镜[17]、圆形的龙伯透镜(Luneburg lens)和麦克斯韦鱼眼透镜(Maxwell Fish-Eye lens)[18]、各向异性材料组成的声透镜[19]等，结构的分布规律不同，形成透镜的功能和类型也有所差异.由于声学透镜在医学诊断、超声波治疗、无损检测等领域的应用潜力[20]，其受到了越来越多的关注，随着研究人员研究的深入，声聚焦透镜的功能得到了进一步拓展，出现了可以实现模式转换的非对称聚焦透镜[21]、超音波范围内使用的超薄声透镜[22]、能够实现静态超材料中无法实现的非互易(nonreciprocal)声聚焦透镜[23]、能够将能量扩大约1000倍的宽带梯度折射率透镜[24]等.

但目前的声学透镜多数都用于控制媒介中的声波或薄板中的低频弯曲波，这些波型易受结构尺寸的影响；而针对具有非频散特性的SH0，涉及基于SH0的透镜的相关研究很少，这正是本文研究的出发点之一.此外，声学透镜的结构越来越复杂[25,26]，在实际制造中容易出现难以精密加工、制造成本高、很难推广等问题.因此，本文研究的目的在于设计一款基于SH0的简单实用的聚焦透镜.

本文基于声子晶体的概念，首先建立了上下桩柱周期性分布的平板中SH波带隙结构求解的理论模型，并通过有限元仿真验证了模型的正确性.在此基础上，详细讨论并建立了典型结构参数(即桩柱高度)与SH0波速的定量关系；基于此，根据干涉原理构建了基于SH0的平面波透镜，并验证了该透镜的工作性能.本文的研究结果可以为能量俘获及收集提供一种新的思路和设计方法.

1 理论模型

1.1 模型简介

为了使结构简单且易于加工，本文选取单相薄板用于构建基于SH0的平面波透镜，所选择的胞元如图1所示，即在长l、高2h的主体板上下各镶嵌一个桩柱，其截面尺寸分别为w2×d2和w3×d3，整个结构关于y轴对称，为了便于分析，这里假设结构在z方向上尺寸无限大，同时将中间及上下桩柱分别划分为区域1、区域2、区域3.

图1 理论模型及坐标系Fig.1 The theoretical model and the coordinate system

本文考虑沿x方向传播的SH波，由其传播特性可知ux=uy=0，仅存在z方向上的位移uz=u(x,y,t)，其波动方程为

(1)

区域1内的SH波可表达为[27-29]

Bγsin(ky,γy)]exp(ikx,γx)

(2)

Bγcos(ky,γy)]exp(ikx,γx)

(3)

区域2和区域3的位移可分别表达为

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 边界条件

(8a)

(8b)

(9a)

(9b)

1.3 带隙结构的理论求解

将式(2)～式(7)代入式(8)和式(9)可得

Bγcos(ky,γh)]exp(ikx,γx)=

(10a)

(10b)

Bγcos(ky,γh)]exp(ikx,γx)=

(11a)

(11b)

(12a)

ky,γl[-Aγsin(ky,γh)+Bγcos(ky,γh)]=

(12b)

其中

0.5w2)]dx=

(13)

(14a)

ky,γl[Aγsin(ky,γh)+Bγcos(ky,γh)]=

(14b)

其中

0.5w3)]dx=

(15)

ky,γlcos(ky,γh)δγγ′]Bγ′}=0

(16a)

ky,γlcos(ky,γh)δγγ′]Bγ′}=0

(16b)

其中

(17)

2 模型的验证

(a) w2=0.6cm, d2=0.05cm, w3=0.8cm, d3=0.12cm

为验证理论模型的正确性，分别选取结构参数不同的两个胞元进行理论分析与有限元验证.为了精确验证理论模型的正确性，有限元仿真采用Comsol Multiphysics软件的二维声学模块，这是因为二维声学模块中声波的控制方程及边界条件与SH波具有高度的一致性.图2 为其带隙结构，反映了波矢与频率之间的色散关系，其中，横坐标表示无量纲波数kl/π，取值范围为[0,1]，对应第一布里渊区[0,π/l]；曲线代表理论得到的结果；圆圈代表有限元仿真软件Comsol Multiphysics的输出结果.由图2可见，不同结构参数下，数值结果与有限元结果几乎完全吻合，这充分证明了本文理论模型的正确性.此外，由图2还可以看出，由于结构尺寸所导致的阻抗不匹配可以产生布拉格散射，从而形成带隙，例如图2中最低阶带隙的中心频率fl/cSH0约为0.5，因此结构尺寸的改变能够影响SH波传播特性的改变.

3 SH0聚焦透镜的理论设计

3.1 频谱分析

为了加工方便并减小模态耦合对SH波传播特性的影响，这里考虑上下桩柱相同的情况，即w2=w3=w，d2=d3=d，此时单胞关于x-z平面对称.图3给出了桩柱宽度w=1.6cm、单胞宽度l=2cm、桩柱高度d由0cm增加到0.6cm时SH0的频谱图，其中：曲线代表理论得到的结果，符号代表有限元仿真软件Comsol Multiphysics的输出结果.由此可见，不同高度情况下理论和仿真结果完全吻合，再次验证了本文理论模型的正确性.除此之外，当桩柱的高度为零，即为平板时，SH0的f-k关系是一条直线，即SH0非频散；随着桩柱高度的增加，其频散特性逐渐增强，且在相同的波数情况下，f的数值逐渐减小.因此，可以预测，当桩柱升高时，SH0的相速度会逐渐降低，因此可以通过调整d的大小来改变SH波的速度，进而调控SH波的传播特性，这是本文设计基于SH0聚焦的透镜的本质.

3.2 聚焦透镜的设计原理

本文预设计一个矩形透镜，如图4所示，用于聚焦平面SH0波.平面SH0垂直入射并经过透镜后，会聚焦到透镜右侧的焦点上.这里，透镜的宽度为L′，焦点距离透镜右边缘的距离为Lf.由上一节的研究可知，桩柱高度的变化可以改变SH0的传播速度，所以图4所示的透镜可以由x方向桩柱高度相同、z方向桩柱高度逐渐变化的准周期结构构成.为了实现这种结构设计，本文将透镜所示区域沿z轴划分了对称的2n+1个通道，这样SH0在经过透镜时，波沿每个通道以各自的速度ci(i=0,1,2,…,n)独自传播，各通道之间相互不干扰.为使SH0在焦点处聚焦，可以令其到达焦点的时间相同，即

(18)

图4 聚焦透镜的设计原理图Fig.4 Principle of the lens design

其中，Di为第i个通道距中轴线z=0距离；cf为SH0在平板内传播的相速度，即cf=cSH0；c0为固定频率下中轴线通道内SH0的相速度.等式左端为SH0沿中轴线通道到达聚焦点所需时间；等式右端为SH0通过第i个通道所需的时间.利用式(18)，可得到固定频率下第i个通道内SH0的相速度为

(19)

当透镜的尺寸L′和聚焦距离Lf确定时，在某一工作频率下即可通过上式求得ci，得到ci后结合图3中不同桩柱高度的频谱图，即可得到不同通道内桩柱的高度，从而完成透镜的结构设计.如果将该透镜设计成51(即n=25)个通道，每个通道内含有10个结构尺寸相同的声子晶体单胞，于是L′=10l=0.2m；为了避免各通道之间的相互干扰，各通道之间设置0.02cm的间隔，每个通道的宽度为0.48cm；当工作频率选择为45kHz时，平板中SH0的波长λ为0.069m；假定焦距为0.3m(即L′=0.2m，Lf=0.1m)，约为波长的4倍.在此基础上，应用式(19)和图3得到了各通道内相速度ci以及桩柱高度d沿z方向的分布规律，如图5所示.由此可知：速度ci由透镜中心z=0到透镜上下边缘逐渐增加，这说明SH0通过透镜时，其沿z=0的通道传播得最慢，沿着±z方向，其传播逐渐加快，最终聚焦到指定的焦点上.与之对应的，桩柱的高度在z=0处达到最大值，沿着±z方向逐渐趋近于零.

图5 各通道桩柱高度d及SH0的传播相速度ciFig.5 Variations of d and ci in different channels

4 透镜的工作性能分析

为了验证理论设计的合理性并检验聚焦透镜的工作性能，本文在有限元分析软件Comsol Multiphysics的结构力学模块中开展频率域分析，仿真的模型如图6所示.图中：红框内矩形部分即为透镜；在距离透镜左侧0.1m处的平板截面上施加z方向的位移，用于模拟平面SH0波的激发.此外，板的四周设置了宽0.2m的完美匹配层(PML)用于模拟无穷远的边界条件，以消除板边缘产生的反射波对结果的干扰.仿真过程中采用四面体单元，PML、平板、透镜部分的最大网格尺寸分别为5mm、4mm、3mm，共划分1433690个单元；计算分析前还用更为精细的网格进行了验证，以确保计算结果收敛.

图6 频域内的计算模型Fig.6 The calculation model in the frequency domain

仿真的结果如图7(a)所示，为了方便对比，这里同时给出了平板(不包含透镜)的情况，见图7(b).通过对比可以很清晰地看到SH0的聚焦效果.为了进一步定量化分析，现将SH0的|uz|2沿x轴和z轴的分布情况从图7中提取出来，见图8.平面入射的SH0，经透镜后的聚焦位置为(0.309m, 0)，与理论设计值(0.3m, 0)基本吻合，稍有误差，这也说明了本文设计方法的合理性.产生这种误差的原因主要有两个方面：首先，带隙结构的分析以及透镜的设计均根据二维理论开展的，如式(1)所示，分析过程中假设z方向是无限大的，但在实际仿真过程中所用的是三维实体结构，这种处理势必会产生一定的误差；其次，通过式(19)可知，理论上要求SH0的速度沿z方向连续变化，但在设计过程中为了避免不同通道的影响，将透镜沿z方向划分了51个独立的通道，通道与通道之间用狭缝隔开，每个通道内SH0的波速是恒定的，即用51个离散的数据点去近似逼近所要求的连续变化趋势，这也会对结果产生一定的误差.除此之外，声子晶体的各向异性、SH0传播过程中的模态转换等也会对结果产生一定的影响.尽管如此，通过图7(a)和图7(b)可知，本文的设计方法是可行的，特别是在焦点处，|uz|2为3.1×10-6m2，是普通平板(不包含透镜)的2.2倍，在x和z方向的聚焦尺寸(由焦点处|uz|2值的四分之一带宽决定)分别为261.1mm和56.2mm，即3.78λ和0.81λ，z方向的聚焦尺寸小于λ，聚焦效果显著，满足设计要求.这里需要指出的是：当SH0被激发并在该结构中传播时，不可避免地会有模态转换发生，但其他导波模式(如A0和S0)的位移很小，如附录中的图A所示，SH0占主导地位.

(a) 引入透镜 (b) 未引入透镜(a) The plate with lens (b) The plate without lens图7 f=45kHz时频率域内|uz|2的仿真结果Fig.7 Simulation results represented by |uz|2 in the frequency domain at f=45kHz

(a) 当z=0时|uz|2随x轴变化(a) The |uz|2 profile along the x direction at z=0

本文设计透镜时虽然只针对45kHz这一固定的工作频率，但由图3可知，在这一频率附近不同桩柱高度情况下的频散曲线多数为直线；那么，如果工作频率稍微发生改变，SH0传播的速度不会发生大的改变，所以可以预测本文设计的透镜不仅适用于45kHz这一固定频率，在结构尺寸不变的情况下，其具有一定的工作带宽.为了验证这一推断，本文还在45kHz附近对透镜的工作性能进行了分析，其结果如图9所示.由此可见，该透镜在[42kHz, 53kHz]范围内都显示了比较好的聚焦效果.由图9还可以看出，随着工作频率的升高，焦点逐渐向透镜靠近，这是因为频率升高，透镜内不同通道内波速的差异会增大.

图9 其他频率下|uz|2的仿真结果Fig.9 The |uz|2 distribution for other frequencies

5 结论

本文基于模态叠加法，在满足动力学控制方程和边界条件的情况下，针对含上下桩柱的周期性板中SH波的传播特性建立了一个能保证收敛性及精确精度的理论模型，并通过有限元仿真对模型的正确性进行了验证.在此基础上，通过调整上下桩柱的高度所设计的透镜可实现SH0的聚焦功能，聚焦效果明显，聚焦位置准确，且具有一定的工作带宽，在工作频率附近的范围内仍然适用.

限于目前检测手段的缺乏，无法自主大面积检测SH波信号，因此本文设计的透镜目前还无法通过实验加以验证.尽管如此，本文有限元仿真的结果已经足以证明这种设计方法的合理性，该方法对超声医学、无损检测、吸声降噪等应用中的能量收集都具有重要的指导意义.