顾海荣,靳浩伟,欧 谊，袁溪伟,杨文娟,徐信芯

(1.长安大学公路养护装备国家工程实验室，陕西 西安 710064;2.长安大学水利与环境学院，陕西 西安 710064)

0 引言

沥青路面就地热再生技术是在现场对废旧路面材料进行加热、再生搅拌后重新铺筑的沥青路面病害修复技术。沥青路面加热过程中，沥青混合料的导热系数对热量的传递有着重要影响[1-2]。导热系数越大，物体的传热速率越高。目前，尚无理论计算式能够准确计算导热系数，仍多用试验来测定[3]。测定方法有稳态法和瞬态法。稳态法又分为热流计法和防护热板法。防护热板法结构简单、应用广泛，被认为是更可靠的绝缘材料导热系数测量方法[4-5]。

早在1789年，Ingen-Hausz建成了稳态比较法装置，测试一般固体的导热系数[6]。2015年，Dubois和Lebeau针对农作物绝缘材料提出了测试较大厚度样品的防护热板装置，被测试件厚度可达40 cm[7]。张涛考虑加热板温度的均匀性及横向热流损失，对热板、绝热层厚度进行优化选择[8]。2016年，李艳宁对由于热板与防护热板之间隔缝温度分布不均引起的热板功率损失进行了研究，提出一种用于修正热板功率的补偿方法[9]。2018年，张飞分析了导热系数测试仪的误差来源、热量散失状况，采用模糊比例积分微分(proportional integral differential,PID)算法控制热板功率，将仪器的测量误差控制在5%以内[10]。2020年，赵琪琪通过试验得出增大样品传导面积与非传导面积的比值能提高测量的准确性[11]。目前，已有多位学者从不同角度对导热系数测试仪进行了研究，但对沥青混合料导热系数测试仪的研究仍较少。

沥青合料试件平面尺寸一般为300 mm×300 mm。采用导热系数测试仪进行导热系数测试时，试件厚度和防护热板宽度都对计量区域的温度分布具有重要影响。本文通过计算沥青试件的温度分布，分析试件厚度、防护热板宽度对试件计量区域温度分布的影响，为导热系数测试仪的设计提供参考。

1 导热系数测试仪模型建立

1.1 导热系数测试仪模型

沥青路面导热系数测试仪模型如图1所示。

图1 沥青路面导热系数测试仪模型示意图

热板上布置有温度传感器。热板温度由程控电源进行控制。对试件进行加热时，试件内部的温差使热量从高温向低温处传导，样品内部各点的温度随加热功率和传热速度的影响而变动[12]。防护热板的温度根据布置在中心热板与防护热板隔缝上的温度传感器测得的温度值进行调节，使隔缝两边温度相等。理想状态下，热板与防护热板之间没有热量传递，热板产生的热量全部流经试件传递到冷板，在热板、试件和冷板之间形成稳态热流。冷板由循环水冷却至设定温度。由于使用了防护热板，试件的计量区域是否满足一维稳态传热的条件，对试件导热系数的测量精度具有重要影响[13]。

导热系数计算式为：

(1)

式中：λ为导热系数；A为试件计量区域面积；T1、T2分别为试件上表面和下表面的温度；Φ为导热量，即热板功率；d为试件厚度。

计量区域面积和试件厚度可用量尺测量。试件上表面温度等于热板温度，由程控电源控制。试件下表面温度等于冷板温度，由循环冷水冷却至设定温度。导热量用程控电源的输出功率表示，代入式(1)即可求出被测试件的导热系数。

1.2 单平壁传热模型

热传导过程中，若温度场中各处温度不随时间变化，则称其为稳态传热过程。稳态传热过程中，热量在温度场中的传递符合傅里叶定律：

q=-λgrad(T)

(2)

式中：grad(T)为温度场中某点的温度梯度；q为热流密度；负号表示热流传递方向与温度梯度方向相反。

Φ=-λAgrad(T)

(3)

稳态传热是一种理想状态。实际工程中，常把物体内部各点温度几乎不随时间变化的状态视为稳态传热状态。一维稳态传热是指在热量的传递过程中，仅在一个方向上有温度差，且只沿该方向进行热量传递。常见的一维稳态传热模型有平壁模型、圆筒壁模型和球壁模型。本文研究的沥青路面导热系数测试仪采用单平壁一维稳态传热模型。单平壁传热模型如图2所示。

图2 单平壁传热模型

当平壁处于一维稳态传热状态时，温度场中各点的热力学性能不会发生改变，流入微元dx的热量与流出微元dx的热量相等，即：

Φin=Φout

(4)

从而可得：

(5)

由于平壁中的温度分布仅在x轴方向上发生变化，温度梯度可表示为：

(6)

式(3)两边同时对x求导，可得：

(7)

由于λ和A均为常数，化简后得：

(8)

平壁两端的边界条件为：

(9)

联立式(8)、式(9)，可得出平壁温度分布表达式：

(10)

将式(10)代入式(3)，化简可得：

(11)

式(11)经变换后，可得导热系数计算式：

(12)

式(12)表明，测得试件的厚度、计量面积、试件上下表面的温度以及通过试件的热流值，即可计算出导热系数。

2 沥青试件温度场分布的影响因素

2.1 有限差分法对沥青试件温度分布求解

沥青试件温度场三维模型如图3所示。

图3 沥青试件温度场三维模型图

沥青试件的尺寸为300 mm×300 mm×h。上表面温度为热板加热温度T1。试件四周温度为室温20 ℃。下表面温度由冷板冷却到20 ℃。

根据《公路沥青路面再生技术规范(JTG/T5521—2019)》，就地热再生深度一般为20～60 mm。当再生深度超过40 mm时，宜采用多级加热方式。因此，沥青试件的厚度范围为20～40 mm。加热后的路表温度不应超过195 ℃。在就地热再生技术的实际应用中，加热的最高温度通常为180 ℃。因此，沥青试件上表面的温度为180 ℃。

使用正方体网格将沥青试件划分为(m×n×l)个节点。图4为节点示意图。

图4 节点示意图

当试件处于理想一维稳态传热状态时，由式(10)可得节点(i,j,k)处的温度，为：

(13)

节点(i,j,k)处的温度仅与该节点所处位置的厚度有关。使用MATLAB软件计算各节点处的温度值，即可得到如图5所示的理想一维稳态传热下沥青试件的温度分布。

图5 理想一维稳态传热下沥青试件的温度分布

由图5可知，在理想一维稳态传热状态下，热量在沥青试件温度场中只沿厚度方向传递，无侧向热量传递。因此，使用式(12)能够准确计算出沥青试件导热系数。

实际的沥青试件是处于三维稳态传热状态，其温度场的方程可描述为：

(14)

对于节点(i,j,k)，将式(14)用中心差分格式转化为差分方程，可得：

(15)

采用正方体网格划分方法(Δx=Δy=Δz)，将式(15)代入式(14)，化简后可得：

Ti,j,k+1+Ti,j,k-1)

(16)

式(15)表明，已知边界温度即可对温度场进行迭代求解。由前述可知，边界条件为：

(17)

以h=40 mm为例，使用MATLAB软件对各节点处的温度值进行计算，并绘制沥青试件温度分布图。沥青试件温度分布如图6所示。

图6 沥青试件温度分布示意图

由图6可知，试件边缘处温度场的梯度变化较大，越靠近试件中心区域的温度分布越符合一维稳态传热状态。

2.2 试验验证模型

为了验证模型计算结果的正确性，测试导热系数时，布置热电偶采集特定点的温度对计算结果进行验证。沥青混合料导热系数测试装置如图7所示。

图7 沥青混合料导热系数测试装置示意图

图7中，沥青试件的厚度为50 mm。在25 mm深度处(中间层)，距中心0 mm、30 mm、60 mm、90 mm、120 mm和150 mm处布置热电偶。达到稳态时，记录各点处温度，并将其与计算结果进行对比。

温度计算值及试验值如表1所示。

表1 温度计算值及试验值

由表1可知，在 25 mm 深度处，仿真温度与试验温度接近，即温度分布模型能够较好地模拟沥青试件的温度分布。

2.3 沥青试件厚度对沥青试件温度分布的影响

设定沥青厚度h分别为20mm、30mm、40 mm，热板温度T1=180 ℃，对沥青试件的温度分布进行计算。沥青试件中心层温度分布对比如图8所示。

图8 沥青试件中心层温度分布对比

由图8可知，随着沥青试件厚度的增加，中心层靠近边缘处的温度偏离增大。这表明沥青试件厚度越大，对一维稳态传热状态的符合程度越差。

2.4 导热系数测试仪精度影响因素

将一维稳态传热状态下某节点处的温度值记为T1、三维稳态传热状态下对应节点的温度记为T3。T1和T3均可使用MATLAB软件计算得到。

记er为T3与T1的相对误差，用于描述温度计算精度。

(18)

使用MATLAB计算各节点处的温度误差er。试件相对误差分布如图9所示。

图9 试件相对误差分布图

由图9可知，靠近边缘处对应节点的温度计算精度较低，从边缘处向试件中心的温度精度逐渐提高。实际测试中，试件计量区域对一维稳态传热状态的符合程度决定了导热系数测试仪的测试精度。

由前述内容可知，减小试件厚度能够改善试件整体温度场分布，从而提高导热系数测试仪测试精度；而增大防护热板宽度能够提高试件计量区域对一维稳态传热状态的符合程度，从而提高导热系数测试仪测试精度。各种防护热板导热系数测试装置的精度约为2%～3%[14]。温度精度只是影响导热系数测试仪测试精度的一个因素。考虑到温度、试件尺寸测量误差等因素的影响，温度精度有必要相对于测试精度高一个数量级，即控制在0.1%以内。0.1%精度条件下，试件计量区域精度随试件和防护热板宽度变化趋势如图10所示。

图10 试件计量区域精度随试件和防护热板宽度变化趋势

由图10可知，沥青试件厚度和防护热板宽度的取值落在0.1%精度平面下方时均能满足要求。0.1%精度条件下，沥青试件厚度和防护热板宽度取值范围如图11所示。

图11 试件厚度和防护热板宽度取值范围(0.1%精度)

由图11可知，当沥青试件厚度为56 mm时，防护热板宽度需要达到试件尺寸的一半。这表明，当试件厚度大于56 mm时，导热系数测试仪已不再能满足测试精度要求。

2.5 防护热板宽度确定

沥青试件厚度范围为20～40 mm时，在0.1%精度下，防护热板宽度取值范围如图12所示。

图12 防护热板宽度取值范围(0.1%精度，厚度20～40 mm)

由图12可知，导热系数测试仪的防护热板宽度应不小于98 mm。

3 结论

为使单平板防护热板法导热系数测试仪能够准确、有效地对沥青路面导热系数进行测量，本文分析了其工作原理，并依据传热学相关理论建立了沥青试件的温度分布模型；采用有限差分法对沥青试件的温度分布进行求解，并试验验证了模型的准确性。本文分析得到以下结论:对长宽尺寸为300 mm×300 mm，厚度在20～40 mm范围内的沥青试件，导热系数测试仪的防护热板宽度应不小于98 mm。该研究对公路养护领域准确测量沥青混合料的导热系数有重要意义。