“对数函数的概念”教学设计及评析

2022-09-23崔占满

数学学习与研究 2022年19期

关键词：指数函数对数概念

◎崔占满王妍

(天津师范大学教育学部，天津 300387)

本文对“对数函数的概念”完成了教学设计、课件和微课程制作，笔者在学校教师教育实习期间，于天津市海河中学开展了具体实践，通过师生、生生互动，相互配合，完成了相应的教学任务，达成了良好的教学效果

一、教学设计说明

依据《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标》)主题二“函数”，第二单元“幂函数、指数函数、对数函数”，各部分内容的关系如图1所示

图1

《课标》指出，幂函数、指数函数与对数函数是最基本、应用最广泛的函数，是学生进一步学习数学的基础本单元的学习可以帮助学生掌握研究函数性质的方法，理解函数中所蕴含的运算规律，体会运用函数知识解决实际问题的作用

依据教材第四章“指数函数与对数函数”，各部分内容之间的关系如图2所示

图2

教学设计在《课标》的指导下，基于人教A版《普通高中教科书·第一册(必修)》内容，以多元智能理论、布鲁姆教育目标分类学，以及加涅的教学设计原理为理论基础，突出促进数学核心素养发展的教育理念.此教学内容的设计旨在突出“数学发现学习”，教师采用GeoGebra 动态绘图软件辅助教学，让学生可以通过观察发现对数函数

二、教学设计实施

1教材内容分析

“对数函数的概念”选自教材第四章第四节“对数函数”(第一课时)课程安排在指数、指数函数和对数知识之后，是继指数函数之后的又一个重要初等函数从知识或思想方法的角度来看，对数函数与指数函数有很多类似的地方同时，对数函数是对数和函数知识的拓展与延伸，是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具

2学生学情分析

对数函数是在指数函数的基础上，对函数主题内容的进一步研究，二者在研究内容和思想方法上存在着紧密的联系

知识经验分析学生在前面刚刚经历指数函数的学习，并且通过指数与对数的相关知识，能够熟练地掌握了指数与对数的相互转化过程，所以学生对于本节课的内容相对容易接受

能力水平分析经过前面内容的学习，学生具备了基本的数学抽象能力、初步的合作探究能力，能够在数形结合的思想方法下借助坐标法展开研究，但逻辑推理能力需要进一步提高

在教学过程中，教师要注重创设问题情境，实施启发式教学，帮助学生加强认识新旧知识间的区别与联系，掌握对数函数内容的同时，加深对指数函数的理解

3教学目标确定

(1)从“指对互化”出发，引出对数函数概念的形式化定义，会用对数函数的概念判断对数函数，会求对数函数的定义域

(2)探索分析实际问题，综合运用数学知识，培养分析问题、解决问题的能力

4教学方法与教学重、难点

教学方法：问题驱动式教学与信息技术辅助教学融合

重点：对数函数的概念及其发现过程

难点：对数函数的发现及其与指数函数的联系

5教学过程设计

新课标强调“从实际问题入手有助于学生对函数概念本质的理解”，所以本节课采取“问题驱动式教学”的形式，引导学生发现对数函数，类比得出对数函数的概念，借助学习指数函数概念时，生物体内碳14含量与生物死亡年数关系这个实际情境来深化本节课的学习内容这样一方面可以减少学生的认知负荷，起到知识回顾的作用，方便学生在后面的学习中，在指数函数与对数函数之间建立起相关联系，另一方面可以帮助学生在本节课内容与实际问题之间建立起联系

教师活动主要包含创设学习情境、提出问题、养成思想方法、恰当运用过程评价学生活动主要涉及“分析任务—设计方案—解决问题—分享交流”环节

师：通过前面内容的学习我们知道，7=2可以根据指数与对数的关系转化成=log7，类比该转化过程，请同学们思考=2可以怎样表示

生：=log

【设计意图】回顾指数与对数的关系，利用该关系将特殊的指数函数进行转化，进而发现和提出问题“转化得到的对应关系是否也为函数”，发展学生的逻辑推理素养

师：我们知道=2是指数函数，那么=log是函数吗？

师：大家不妨先画出=2的图像，然后根据函数概念，结合图像进行小组探究哪个小组可以给大家说一下呢？

生：我们小组认为=log是函数结合图像(图3)分析可得，任取一值，都能找到唯一确定的值与之对应，满足函数概念

图3

【设计意图】深化“数形结合”的思想方法研究问题，一方面可以回顾判断函数的依据——函数的概念，另一方面积累基本活动经验，为下面一般化对应关系的研究奠定基础

师：为了更加直观地得出该结论，老师利用GeoGebra软件给大家绘制了以下动态过程观察函数图像(图4)，我们可以看到，的取值范围为(0，+∞)，记为数集，的取值范围为，记为数集由动态过程可得，在数集中任取一值，在数集中都能找到唯一确定的值与之对应

图4

【设计意图】利用信息技术，由“静态”到“动态”，再次验证该结论的正确性，一是弥补孤立点的局限性，增加连续性；二是呈现形式更加直观，加深学生理解，发展学生直观想象素养

师：通过上述的研究过程，我们得出=log是函数下面，我们一起来回顾一下探究过程我们知道指数函数的一般形式为=(>0，且≠1)，当底数=2时，我们得到=2，由指数与对数的关系将其转化成=log，进而根据函数定义结合图像判断得出=log是函数通过上述思路，你还能提出什么问题吗？

生：更加一般的对应关系=log也是函数吗？

【设计意图】由教师提出问题，到学生提出问题，一方面可以培养学生提出问题的能力，另一方面自然引出本节课的主要研究问题

师：问题提出得非常好！请大家思考当>0，且≠1时，一般化的=log是函数吗？大家可以仿照上述=log的探究过程，多画出几个函数图像，小组讨论一下

【设计意图】通过小组探究活动，增加学生的自主性，经历由特殊到一般的研究过程，培养学生合作学习、合情推理的能力

师：为了说服性更强地得出该结论，老师以0<<1为例，利用GeoGebra软件给大家绘制了以下动态过程观察函数图像(图5)，我们可以看到，的取值范围为(0，+∞)，记为数集，的取值范围为，记为数集随着底数的变化，由动态过程可得，在数集中任取一值，在数集中依然能找到唯一确定的值与之对应

图5

【设计意图】借助信息技术辅助教学，结果更加直观，理由更加充分

师：通过上述探究，我们知道=log(>0，且≠1)也是函数通常，我们用表示自变量，表示函数因此，我们将字母和对调，写成=log(>0，且≠1)这就是我们今天要学习的对数函数的表达式定义域也就是数集，即(0，+∞)

师：下面老师给出四个函数，请各小组根据对数函数表达式，判断它们是否为对数函数,并思考一下判断函数是否为对数函数的依据是什么

例：给出下列函数

(1)=log(3-2) (2)=2log03

师：听完同学们的汇报，我们发现各小组的结果有些出入，下面我们一起来看一下首先，观察对数函数的表达式，我们可以看到对数符号前系数为1，因此(2)不是对数函数；其次，我们可以看到对数的底数大于零且不等于1，因此(3)不是对数函数；最后，我们可以看到对数的真数仅有自变量，因此(1)不是对数函数，只有(4)是对数函数通过上述观察，我们就得到了判断对数函数的三点依据

【设计意图】加深学生对函数概念的理解，确定判断对数函数的主要依据，便于学生厘清对数函数表达式结构

师：我们刚学习的对数函数概念能解决什么问题呢？请同学们思考下面的问题

问题1：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

师：如果设死亡生物体内碳14含量为，死亡年数为，那么二者间存在什么关系？

【设计意图】回顾研究指数函数时的事例，一方面是因为学生熟悉，可以减小认知负荷；另一方面这可以方便学生在后续学习中，在指数函数与对数函数之间建立起相关联系

问题2：考古学家每发现一个死亡生物体内的碳14含量就可以求出它的死亡年数吗？你能给出具体的关系式吗？

【设计意图】深化对数函数在实际生活中的应用，帮助学生在本节课内容与实际问题之间建立起联系