◎李树明

(福建省周宁县第一中学，福建 宁德 355400)

单元整体教学是以全局的眼光、系统的方法帮助教师更好地把握教材、解读教材，并对各单元教材之间的联系进行再次认知与梳理，明确所教知识在整个中学阶段所处的地位，对中学数学知识的完整性、系统性与科学性在宏观上有更为准确地把握其目的是从全局的角度使学生更好地把握知识及学科的内涵2019年新人教A版高中数学教材把高中数学知识做了模块化处理，这对单元整体教学提出更高的要求笔者近年来专注研究有关单元整体教学的模式问题，在研究与实践中有些体会与大家一起探讨

一、从函数概念形成的视角理解和把握函数概念

概念教学是数学教学的重中之重，而函数概念更为重要函数概念的学习涉及最为基础的知识，函数的许多概念(如函数的定义、函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的有界性等)、性质对高一学生而言都是非常抽象、难以理解和记忆的，同时，函数对培养学生的数学学科素养(如数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模)是很好的载体新课标指出，教师要树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿教学活动的全过程新课标中提出的“数学核心素养”包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，这六大核心素养是高中生应具备的数学素养高中数学函数部分涉及数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模这四大核心素养，其重要性不言而喻，而学好函数有关概念又是基础中的基础其实，教材在函数这部分给出了许多已经建好的数学模型(如基本初等函数等)，这些数学模型为我们学习和研究客观世界变量的对应关系提供了很大的便利受此启发，笔者注意到教材是从如何形成的视角去解析数学概念，并把函数概念的形成过程当作一个数学模型在课堂教学中，教师从定义模型化的角度引导学生理解和记忆函数有关概念，可帮助学生理解与记忆这些抽象的数学概念，进而培养学生的数学素养

(一)严格定义型(抽象型)

1函数定义：一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合到集合的一个函数(function)，记作=()，∈其中,叫作自变量，的取值范围叫作函数的定义域(domain);与的值相对应的叫作函数值，函数值的集合{()|∈}叫作函数的值域(range)(2019年新人教A版必修一第62页)

定义解析一：注意逻辑连接词

格式：……任意……都有……

定义解析二：从语法句式的结构理解逻辑连接词前后部分的内容及地位

格式：，任意，都有……

定义解析三：填空补充完整的定义内容

具体解析：

(1)先注意逻辑连接词：

……任意……都有……

(2)前提条件：

，是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系

(3)核心概念：

核心部分①——任意性(对);

核心部分②——唯一性(→)

从这三个方面认识函数的概念，可把函数的概念抽象为：前提、逻辑连接词、核心部分(任意性与唯一性)，本质上就是从到的定量研究这样便不难理解与记忆了

2增函数：一般地，设函数()的定义域为,区间⊆:

如果∀,∈,当<时，都有()<()，

那么就称函数()在区间上单调递增

特别地，当函数()在它的定义域上单调递增时，我们就称函数()在区间上为增函数(increasing function)

图1

具体解析：

(1)先注意逻辑连接词:

……任意……都有……

(2)前提条件：函数()的定义域为,区间⊆

(3)核心概念：

核心部分①：∀,∈,当<时——任意性(对)；

核心部分②：都有()<()——唯一性(→)

增函数的定义模式是不是跟前面函数的定义模式一样呢？事实上，函数的单调性、奇偶性、周期性、最大(小)值都是这种定义模式这种严格的、抽象的数学概念的定义形式称作抽象定义

这种抽象、严格的定义方式是按照一定的逻辑规则而形成的约定下定义就是给对象所具有的各种构成特性做出一种选择，就是在给定系统中通过术语来选择充分必要条件(张奠宙，1998)它赋予定义“数学的明确性”与“数学的严密性”严密性是数学的一个突出特点，甚至可以说数学的生命就在于它的严密性和许许多多数学定理一样，数学概念的定义也是数学内部和谐选择的结果，是数学严密性的重要表现学生经历了概念定义过程的思考与推敲、修正与琢磨，就会获得定义严密性的体会，就能学习定义概念的科学方法学生在课堂中就能比较快速地叙述概念，后续遇到这种严密、抽象型的概念，运用类比就可以自主下定义

(二)描述性定义型(白描)

3指数函数：一般地，函数=(>0,且≠1)叫作指数函数(exponential function)(2019年新人教A版必修一第113页)

这个定义换个说法就是“形如=(>0,且≠1)的函数叫作指数函数”这个定义给我们的直观感觉就是和=长得一模一样的函数就是指数函数它比上面函数的定义简单多了

4对数函数：一般地，函数=log(>0,且≠1)叫作对数函数(logarithmic function)(2019年新人教A版必修一第130页)

这个定义是不是也很简单？回顾我们学过的具体函数，如一次函数、二次函数、反比例函数、一元一次方程、一元二次方程等也是用这种方式下定义

格式：前提条件，形如……叫作……

事实上，具体的基本初等函数大多形式特征明显，能从外形上直接观察和识别而现在所学概念的本质特征比较抽象，学生又缺乏抽象其本质特征所需要的知识与经验，很难严格下定义，故教师只能用描述其特征的方法下定义，这种下定义的方式称为描述性定义，也称“白描”

(三)其他类型

图2

这种以角终边上点的坐标的比值为函数值的函数统称为三角函数(2019年新人教A版必修一第177页,有修改)

格式：前提条件，把……叫作……

这种在特定条件下用“比值”来定义三个三角函数异于严格定义型与描述定义型，但似乎又有它们的影子，特别有意思，这里把它归为其他类型

(四)拓展到更为广泛的概念教学举例

集合：一般地，对于两个集合,，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合是集合的子集(subset),记作⊆(或⊇),读作“包含于”(或“包含”)

格式：，任意，都有……(严格定义型)

椭圆：已知平面上两定点(-,0),(,0)，平面上到两定点(-,0),(,0)的距离之和为常数(大于||)的点(,)的轨迹叫作椭圆这两定点(-,0),(,0)叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距

换成数学符号语言：已知平面上两定点(-,0),(,0)，对平面上任意的点(,)都有||+||=2(2>||),点(,)的轨迹称为椭圆

格式：，任意，都有……(严格定义型)

直线的点斜式：直线过(,)，为直线的斜率，-=(-)叫作直线的点斜式方程，简称点斜式

格式：前提条件，形如……叫作……(白描型)

我们把++=0(,不同时为零)称为直线的一般式方程

格式：前提条件，形如……叫作……(白描型)

如果非零向量与平面垂直，称为平面的法向量

格式：前提条件，把……叫作……(其他类型)

格式：前提条件，把……叫作……(其他类型)

二、挖掘重要概念在教材中起到的作用

2019年新人教A版必修一第135页：

一般地，指数函数=(>0,且≠1)与对数函数=log(>0，且≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换

这个概念以及前面的一些解析内容很容易让教师淡化处理“反函数”的概念笔者认为从知识的整体性出发，这里的教学不容缺失“反函数”这个概念可打通指、对数函数间的关系，理清它们之间的关系，这样学生对对数运算及对数函数性质的掌握就可以用指数运算及指数函数的性质来对照理解与记忆了

课堂上教师要求学生掌握如何求反函数是关键，原因有二：

(1)求反函数揭示对数的来源，强化指、对数函数相互转化是解决指、对数函数问题最为重要的途径

(2)它是理解指、对数函数图像走势的关键指数函数在(-∞，0)的图像走势(慢)对应对数函数(1，+∞)的图像走势；指数函数在(0，+∞)的图像走势(快)对应对数函数(0，1)的图像走势指数函数的底越大说明“加速台的威力”越大，对数函数的底越大说明“加速台的威力”越小

6如图3所示，是对数函数=log，=log，=log和=log的图像，则,,,与1的大小关系为________

图3

由图可知，函数=log和=log的底数>1，>1，函数=log和=log的底数0<<1,0<<1，过点(0,1)作平行于轴的直线=1，则直线=1与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为,,,，所以>>1>>>0

事实上，教师在教学中可引导学生观察第一象限图像，底越大越靠近轴(向轴正半轴靠拢)，那么指数函数图像底越大在第一象限越靠近轴

将题目换成底为，，，的四个指数函数，方法相同，将，互换，对照解决就行，这体现了知识与方法的整体统一

三、在单元复习课中对公式的作用的指向进行分类

在教材“三角函数”这一章中，公式繁多，教师在复习课中从公式的指向进行分类有时会起到意想不到的效果

三角变换不外有变“名”与“角”

变“名”的公式有：(1)同角关系式：平方关系，商的关系；(2)诱导公式5，6

变“角”的公式有：(1)二倍角公式及降幂扩角公式；(2)诱导公式1，2，3，4；(3)辅助角公式

这样理一理会便于学生记忆与应用

四、学生完成单元小结问题

在单元整体教学中，如何引导学生主动参与单元知识的整体构建是值得探讨的问题笔者在近年的摸索中尝试让学生做单元小结，取得了较好的实践效果

(一)设计专门的单元小结模版

1设计意图说明

本单元小结是在单元新课结束后，学生自主完成单元小结，是教师示范并引导学生完成单元复习的一种较为新颖的复习模式它给学生自主整合、归纳本单元所学知识、辨析核心概念、理清逻辑脉络提供了自我学习与对照学习的机会当然，这里对学生的能力要求较高，所以教师的反复、多次示范与对照不可少

2设计流程说明

(1)第一个板块：知识结构整合

学生将本单元重要的概念、公式、定理详细地罗列在草稿纸上，经过思考、推敲，进行思维的深加工后，做出本单元的知识结构图，将单元所学知识融为一个整体，用单元整体思想把握整个单元的知识，这样的小结一目了然，但有时需要必要的说明与强调

(2)第二个板块：选择典型例题

学生可从本章中的例题、习题、练习册及试卷等中找到自己认为最能代表本单元主要知识点的例题，要求紧扣第一板块的知识结构图与说明，每个例题的旁边需要用红笔备注用到哪个重要知识点及哪个平时所学的思想方法

(3)第三个板块：错题解析

选一个你最容易做错的题目，先录入错解，再用红笔在旁边进行订正，并备注错因

(4)第四个板块：学后反思

谈一谈你学习本单元的收获与不足，以及本单元知识在教材中的地位

(二)教师示范如何做单元小结

引导学生自主完成单元小结(教师先示范，学生再独立完成)

第一版块知识归纳的原则：(1)先总后分，先宏观后微观(2)对重要概念解析要下功夫

第二版块典型例题的选择原则：与重要知识相呼应

教师通过单元复习课，和学生共同梳理本章概念、知识点、解题方法，进行题型分类训练，然后收集学生的错误做法，分析错误成因，引导学生完成单元小结

(三)批改学生的单元小结

教师应从知识结构的完整性、系统性的角度评价学生是否完全理解了本章的知识体系，从所选例题代表性看学生是否关注到本章内容主线之间的关联，从易错题分析评价学生是否掌握所学内容及复习的有效性，从对本章的感想了解学生学习过程中可能遇到的困惑，为下一阶段的教学提供依据

通过单元小结，学生既概括了单元知识要点,使知识系统化,又培养了综合归纳能力，能清楚地知道自己对本单元知识哪一部分学得最好,哪一部分学得不够好，或者还有哪些归纳不会做,主要原因是什么，并及时地查缺补漏这里主要培养了学生对知识的整体观

钟启泉认为，单元不是把教学内容碎片化地当作知识点来处置，而是有机地、模块式地组织和构成的；单元设计不是单纯知识点传输和技能训练的安排，而是教师基于学科素养，思考怎样描绘基于一定目标和主题而展开探究活动叙事的活动，目的是创造优质的教学

吕世虎认为，单元教学设计是教师以教材为基础，用系统论的方法对教材中具有某种内在关联性的内容进行分析、重组、整合，并形成相对完整的教学单元，在教学整体观的指导下将教学诸要素有序规划，以优化教学效果的教学设计，单元教学设计具有整体性、层序性、生本性和创造性

李昌官认为，数学是一个不可分割的、相互联系的整体，数学教育的价值蕴藏在数学核心概念及其相互联系之中，因此，数学知识的整体性和联系性决定了数学教育应该大处着眼、小处着手