◎吴 谦

(大同师范高等专科学校，山西 大同 037039)

17世纪，资本主义的兴起促使社会生产力得到极大的提升，生产力推动着科学技术和数学迅速地向前发展，人类的活动半径逐渐增大，研究的问题逐渐深入例如，如何确定远洋船舶的准确位置；军事方面如何精准掌握弹道导弹的运行轨迹;天文学方面如何掌握行星的椭圆轨道理论等等传统的初等数学方法对这些生产生活中的数学问题已经束手无策、无能为力数学逐渐地从初等数学时期向变量数学时期转变这一转变，以笛卡儿建立的解析几何为起点,以微积分的兴起为标志从数学史的分期来看，微积分出现在变量数学时期(梁宗巨先生在自己的著作《世界数学史简编》中对数学发展史的分期该书系我国数学史专家独立完成的第一部世界数学史专著)微积分早期被物理学家、数学家和天文学家用来解决大量的实际问题，主要用于天文、力学、几何中的计算等问题

微积分是理工科专业的一门基础学科，是高等数学的主体微积分是各所大学里很多理工类专业的必修课程和文史类专业的选修课程微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学，微分学的主要内容包括极限理论、连续、导数、微分等；积分学的主要内容包括不定积分、定积分等微积分的知识在1980年之前是大学课程里的内容1978 年 2 月教育部颁布《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》，大纲第一次将微积分初步的内容正式纳入高中数学课程根据1978年大纲(试行草案)，人教社第五套高中数学教科书数学第四册(1980年4月出版，高二下学期学习)，第一次在高中数学课程中设置了微积分初步的知识高考不做考试要求微积分初步在高中数学课程中“反复”出入，现在它的部分知识又回到高中数学理科的选修课本里(人教社2007版，A版教科书，数学，选修2-2)，并且一直都是这些年高考数学考试的热点不论是当年的大学生还是现在的高中生，初学者往往感觉到这门功课的内容概念抽象复杂，定理推论很难理解，解题时方法深奥灵活，学习困难重重，理论性太强且不易掌握本文就微积分的思想和方法，谈一些笔者自己在学习与教学中的心得体会，望为初学者提供参考

一、微积分主要研究的问题

从数学的历史上看，在微积分发展的初期，微积分主要源于四类基本问题：速度与路程问题、光学与切线问题、最大值最小值问题、面积问题

1速度与路程问题：已知物体的运动路程与时间的函数关系，求运动物体的速度(瞬时速度)和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求运动的路程

2光学与切线问题：求曲线的切线

3最大值最小值问题：求函数的最大值、最小值

4面积问题：求曲线的弧长，求曲线所围成的平面图形的面积，求曲面所围成的空间物体的体积

其实，人们在生产实践和科学技术中所遇到的许多涉及微积分的数学、物理等问题，也可以归结为上述几类问题

二、微积分的基本思想

(一)微分的基本思想

1瞬时速度

关于微分的基本思想，我们从人造地球卫星的发射过程谈起，以此来体会、感受微分初步的基本思想

从卫星点火离开地面，到它抛弃第三级火箭，进入椭圆形的运行轨道绕着地球飞行，它的飞行速度始终都在急剧地增加着我们需要对它每时每刻的飞行速度非常准确地把握，以确保卫星按计划准时进入预先设定的轨道，并在进入轨道时，达到预定的速度，达到我们的发射目的

在卫星发射的过程中，轨道修正、变轨(例如嫦娥工程的绕月飞行：卫星绕地球飞行变轨到绕月球飞行)等等，就是我们对卫星的运行的掌控把握，以保证卫星发射任务的圆满完成

可见，研究运行的物体在每一时刻的运行速度是相当重要的运行物体在每一时刻的速度称为瞬时速度，又叫作即时速度

平均速度的概念只能使我们对运动物体在一个时间段内的运动的大致情况有所了解这对于掌握卫星的发射过程远远不够，即使对于了解比卫星发射速度变化慢得多的飞机、火车、汽车、轮船等的运行情况也是不够的铁路管理部门对火车在上下坡时、进出车站时、过桥时、转弯时、穿隧道时的行车速度都有一定的要求，司机必须注意速度表司机如果对火车运行的速度没有准确掌握，那就不能安全行车、正点到站在人造地球卫星的发射过程中，人们不但要掌握火箭运行过程中的速度，而且要掌握火箭运行速度的变化规律掌握速度的变化规律，这是科学技术中的一个重要的课题

运行物体在每一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度的概念也没有多么神秘，并不是难以把握的，我们完全可以借助平均速度的概念来掌握我们知道，一个做变速运动的物体，不管它的速度变化有多大，在一段很短的时间内，它的速度的变化总是不大的，可以被近似地看成匀速运动

为了刻画运动物体在某一时刻的“快慢程度”，运行时间区间[,+Δ] 取得越小越好，即时间段 Δ越小越好当时间段 Δ取得越来越小的时候，运动物体在很小的时间段 Δ内的平均速度就可以近似地反映它在时刻的瞬时速度Δ越小，这种近似程度就越高当 Δ无限变小并趋于零(Δ→0)时，即发生一个质的飞跃，平均速度就转化为瞬时速度了可见，速度中的“平均速度”与“瞬时速度”，这一对概念在一定条件下是可以相互转化的简单地说，就是以平均速度为纽带，我们通过平均速度可以求出物体变速运动的瞬时速度，实现速度由平均速度到瞬时速度的转化

2曲线切线的斜率

曲线的切线(曲线在某一点处的斜率)，也是微分产生的本源性问题，下面我们通过实例来探究曲线的切线

设L为方程=()在平面直角坐标系内确定的曲线，点(,())，点(+Δ,(+Δ))为曲线L上的两点那么对于割线的斜率，我们可以将其定义为：

图1

解决上述问题所体现的思想和方法，正是微分思想的基本方法

瞬时速度的概念、曲线切线的斜率，在数量上是用导数(在旧版教材中叫作微商)的概念来描述的导数(即微商)是微积分的一个很基本的概念趋近的过程，在数学上称为极限过程“平均变化率”与“瞬时变化率”(即局部变化率)的转化，正是在极限的过程中实现的

导数(即微商)是微积分的一个很基本的概念，但不能说微积分就是研究导数(即微商)的导数(即微商)只是微积分的一部分，即微分学部分下面我们来谈一谈微积分的另一部分，即积分学

(二)积分的基本思想

同学们想一想，在初等数学里我们都会计算哪些图形的面积呢？我们会计算三角形、正方形、矩形、梯形、多边形等一些规则的图形面积

但同学们会计算抛物线下面图形的面积吗(即曲边三角形的面积)？

图2

我们用已有的知识讨论这个问题，发现它并不好解决，曲边三角形既不是三角形，又不是扇形我们以前学过的求图形面积都是对于规则的图形，例如圆的面积、正方形或长方形的面积、菱形的面积、平行四边形的面积、三角形的面积等等三角形的三条边都是直的，图2看上去像一个三角形，可这里有一条边是弯曲的(曲线=的一部分)现在这个问题的困难正是“曲”(曲边)与“直”(直边)的矛盾

怎样实现“曲”与“直”的相互转化呢？

其实这个方法在现实生活中我们是见到过的同学们见过大烟囱(或者水塔，或者圆形、偏圆形的建筑物)吧！大烟囱在整体上看来是圆的，但是大烟囱由砖头砌成，砖头的每一个面都是平直的

也就是说，大烟囱虽然整体上看起来是圆的，但在局部每一个小段上(每块砖的每一个面)都是直的，如果直的一小段越短，整体看起来就越圆

这就是微积分的基本思想在很小的一段上，可以以“直”代“曲”正如恩格斯所指出的：高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线与曲线应当是一回事这句话高度概括了微积分的基本思想

前面所提到曲边三角形的面积，也可以按照上面的这种思想方法去表达步骤如下：

第一步，分割区间现在将曲边三角形分割成个小曲边梯形，每个小曲边梯形都用底相同、高等于底的左端点函数值的矩形近似代替，之后就得到图中的阶梯形把这些小矩形面积加起来就得到了阶梯形的面积，阶梯形的面积可作为曲边三角形的近似值

第二步，求和我们为了得到相对来说更为精确的面积值，可以把曲边三角形分成很细很细的小曲边梯形(如图2所示)，可以从图形上看出阶梯形的面积更接近于曲边三角形的面积

第三步，取极限我们把区间分得越来越细，近似值就越来越接近准确值如果把每个小曲边梯形无限细分(→∞)，这时每个小矩形的面积就转化为“微分”，近似值就转化为准确值这个值就是=这个函数在区间[0,1]上的定积分

由此可见，定积分是微分的无限积累

总之，贯串于微积分的基本矛盾是“匀”与“不匀”“直”与“曲”的矛盾处理矛盾的基本方法都是借助于细分(极限方法)，即创造条件使得“匀”与“不匀”“直”与“曲”互相转化，从而达到认识“不匀”或“曲”的目的

我们从这两个实例来看，微积分并不神秘难懂，通过极限的思想和方法可以得到很好的表达，我们也可以很清楚地理解和把握

三、微积分的基础

极限是微积分的基础，极限也是整个高等数学的基础微积分的所有的基本概念、定义及定理都建立在极限的基础之上初学者感到微积分这门功课的内容抽象，定理推论难理解，解题时方法深奥，理论性太强且不易掌握……主要是因为大学生从初等数学上升到高等数学、从具体的静止的数学阶段上升到运动的变化的数学阶段，不能一下子适应，也不能很快理解，感觉到深奥且束手无策虽然说微积分初步被安排到高中阶段已经有一段时间，但是作为微积分基础的极限论，在现在的高中数学教科书中找不到，学生学习的微积分是不完善、不系统的没有极限基础定义的微积分，让现在的高中生无法准确认识并深刻理解微积分的基本定义导数的定义是在求解无限减小的函数的局部变化率的过程中实现的比如瞬时速度、曲线在某一点处切线的斜率等等再如在定积分中，求曲边三角形(或曲边梯形)的面积时的细分区间，分得越来越细，以至于最大的小区间的长度趋于零，于是，我们实现了曲边三角形(或曲边梯形)面积的准确值的求取在极限的基础上，我们定义了导数、微分、定积分等微积分的基础定义

四、微积分的产生及影响

牛顿和莱布尼茨是微积分的奠基人，他们通过不同的问题提出并分别发明了微积分牛顿通过运动学得到的微积分称为“流数术”；而莱布尼茨通过几何学得到的微积分命名使用了“差的计算”与“求和计算”等术语，后来成为专门术语“微分学”和“积分学”这就是近代西方微积分名称的来源，后来合起来叫微积分

微积分的创立，逐渐显示出它非凡的力量，之前的很多初等数学无法理解、无法触碰、无法解决的问题，至此往往迎刃而解恩格斯非常重视微积分在自然科学中的作用，他指出：只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来表明状态，并且表明过程

微积分的创立，不仅仅是数学思想发展史上的里程碑，也是科学思想史上的里程碑微积分同时体现了唯物辩证法的思想