广东省东莞市常平中学(523570) 冯锦强

1 题目呈现及解答

题目 小王每天17: 00-18: 00 都会参加一项自己喜欢的体育运动,运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种. 已知小王当天参加运动项目只与前一天参加的运动项目有关,在前一天参加某类运动项目的情况下,当天参加各类运动项目的概率如下表:

当天前一天篮球羽毛球游泳篮球0.5 0.2 0.3羽毛球0.3 0.1 0.6游泳0.3 0.6 0.1

(1)已知小王第一天打羽毛球,则他第三天做哪项运动的可能性最大?

(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示:

运动项目篮球羽毛球游泳能量消耗/卡500 400 600

X 1200 1300 1400 1500 1600 P 0.01 0.09 0.57 0.27 0.06

E(X) = 1200×0.01+1300×0.09+1400×0.57+1500×0.27+1600×0.06 = 1428(卡). 所以小王第一天打羽毛球开始,前三天参加体育运动能量消耗总数期望为1428卡.

第(1)问解法2 设1 为篮球,2 为羽毛球,3 为游泳,Xn为第n天运动状态,n ∈N*,P(Xn= 1)表示第n天选择运动为篮球的概率. 记pij=P(Xn+1=j|Xn=i)表示已知在第n天运动状态为i,第n+1 天的运动状态为j的转移概率. 易知{Xn,n ∈N*}为马尔可夫链,由题意可得一步转移概率矩阵:

由题意可知当k=2 时,P(X1=2)=1,故P(i,j,2)=pji·pkj ·P(X1= 2) =pji·pkj. 设Y为前三天运动能量消耗总数

总卡路里Y (i,j,k)P(i,j,k)1400(1,1,2)p21·p11 =0.15 1300(1,2,2)p21·p22 =0.03 1500(1,3,2)p23·p31 =0.18 1300(2,1,2)p12·p21 =0.06 1200(2,2,2)p22·p22 =0.01 1400(2,3,2)p32·p23 =0.36 1500(3,1,2)p13·p21 =0.09 1400(3,2,2)p23·p22 =0.06 1600(3,3,2)p33·p23 =0.06

Y 1200 1300 1400 1500 1600 P(i,j,k)0.01 0.09 0.57 0.27 0.06

整理得Y的分布列如下:则E(Y)=1200×0.01+1300×0.09+1400×0.57+1500×0.27+1600×0.06=1428(卡).

注 上述第(1)(2)问解法2 用到马尔可夫相关知识,下面背景探究有相关知识点介绍,或者请读者查阅文献[1].

第(1)问解法3 设1 为篮球,2 为羽毛球,3 为游泳,Xn为第n天运动状态,n ∈N*,P(Xn= 1)表示第n天选择运动为篮球的概率. 记P(Xn+k=j|Xn=i) 表示为已知在第n天运动状态为i,第n+k天的运动状态为j的概率,由题意可知,P(X3=j|X2=k,X1=i) =P(X3=j|X2=k),i,j,k ∈N*且{X2= 1},{X2= 2},{X2= 3}为一个完备事件组,故由全概率公式可得,所求

2 背景探究

此题目的出题背景为随机过程里的马尔可……