华南师范大学数学科学学院(510631) 刘 倩

早在小学教学中,教师在教授学生“满十进一”的规则时就会告诉学生世界上不是只有十进制这一种计数方式. 在中国古代有六十四卦卜易规则用到二进制计数思想[1];1 个季度有3 个月,这是运用三进制计数思想;1 斤是16 两(中国古代度量法),这是运用十六进制计数思想;1 天有24 小时,这是运用二十四进制计数思想;1 个小时60 分钟、1 分钟有60秒,这是运用六十进制计数思想……

每一种进制都是完美的,这样完美的数学工具应为学生所知. 横观人们研究十进制数的进程,数码问题是其中十分重要的模块,并由此衍生出不少数列问题. 那么,其它进制应有对应的数码规律,可以衍生出对应的数列问题. 本文从最能反映真相的三进制入手,研究三进制数码规律,并探究对应的数列问题,仿照三进制数码研究过程,参照十进制数码知识推测P进制数码规律.

一、理论探究

一个正整数的三进制表示是n=ak3k+ak-13k-1+···+a131+a0,其中ak=1,2 且am=0,1,2(0 ≤m≤k-1).以下研究[3k-1,3k-1](k ∈N+)[注1] 中正整数用三进制表示后三进制数的数码知识,即k(k≥1)位三进制数的数码知识.

二、例题分析

由表2.1 可知当数的三进制表示中包含0 时就不满足条件f(n) =n,问题转化为1～1991 有多少数的三进制表示是不含0 的,这样也就定义了三进制去0 数列问题. 1991 写作三进制数是(2201202)3. 那么有两种思路: 第一种方式是考虑1～6 位以及7 位中小于(2201202)3且包含0 的数码个数;第二种是考虑1～6 位以及7 位中小于(2201202)3只含1 和2 的三进制数.

表2.1 问题1 部分值

按第一种方式可