湖南省怀化市铁路第一中学(418000) 高 用

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》明确指出:“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用空间性质特别是图形,理解和解决数学问题的素养. 主要包括: 借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路”.[1]

一、不等式恒成立问题与几何直观

不等式恒成立求参数取值范围问题,简称不等式恒成立问题,是函数与导数综合问题中常见的一种题型,是高考的热点,它的一般形式可以表述为: 已知不等式f(x,a) ≥0(或者f(x,a)＞0)在指定区间上恒成立,求参数a的取值范围.该问题的求解是找出所有能使不等式在指定区间上恒成立的a的值构成的集合I,即对∀a ∈I,都能使得f(x,a) ≥0在指定区间上恒成立(纯粹性),且对∀a ∈CRI,都不能使得不等式f(x,a)≥0 在指定区间上恒成立(完备性).

图2

从几何直观的角度理解不等式恒成立问题:f(x,a)≥0,即函数f(x,a)的图象在x轴以上,由于函数f(x,a)中带参数a, 则参数a起到调整函数f(x,a)图象形状或位置的作用. 因为a要满足纯粹性,所以a的值要使得函数f(x,a)图象在x轴以上,又a满足完备性,所以a要一直取到使得函数f(x,a)图象与x轴第一次相切且该点的横坐标为函数的极小值点时的值,如图1-2.

图1

因此,当函数f(x,a)图象第一次与x轴相切且该点的横坐标为函数的极小值点时,就可以得到a的取值的上确界或者下确界,再结合参数……