华南师范大学数学科学学院(510631) 陈伟连

外接球问题是高考的高频考点,仅近三年的全国卷就一共考查了4 次. 为突破该考点,通常将其作为一个专题进行复习,而2022 年新高考Ⅰ卷第8 题就属于该专题的范畴. 本文对本道题进行分析,并给出该题的多种解法. 接着对本题条件进行特殊化变式探究和一般化变式推广,研究球的内接棱锥体积何时取得最大值和最小值. 最后,根据对本题的研究提出一些教学启示,为一线教师和高三学生备考提供一些思路和帮助.

1 试题呈现

2 试题剖析

本题以正四棱锥的外接球为载体,考查了球心到截面距离的勾股关系、余弦定理、三角函数、四棱锥的体积、球的体积、三次函数的最值等基础知识. 能力素养层面主要考查了空间想象、逻辑推理和数学运算能力,体现了函数与方程、化归的思想方法. 试题的设置简洁明了,但跨度较大,要求学生有较强的问题分析能力和扎实的数学基础. 此外,本题解法多样,学生能够从不同的角度入手,可以较好地检验学生对基础知识和基本思想方法的综合运用能力,具有较高的区分度.

本题的解题思路主要分为四步: ①求出球的半径,明确球内接正四棱锥中的三个直角三角形: RtΔPAO′,RtΔOAO′,RtΔAO′B和等腰ΔPOA(如图1); ②用字母表示相关的边长和角度,构造正四棱锥体积的表达式; ③寻找各字母之间的数量关系,将多元降为一元; ④换元,并利用导数求正四棱锥体积的最小值和最大值.

图1

图2

图3

3 试题解答

3.1 设……

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