高继浩

(四川省名山中学 625100)

1 问题呈现

(1)求椭圆C的方程；

题2F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F且斜率为k的直线l与抛物线交于P，Q两点,线段PQ的垂直平分线交x轴于点M,且|PQ|=6,则|MF|=____.

题1是北京市昌平区于2021年1月进行的高三期末质量抽测第20题,题2是山东省德州市于2021年1月进行的高三期末统一测试第16题,两题高度相似,它们有没有相同的本质？

2 问题解答

题1(2)解析设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l的方程y=k(x-1)与椭圆方程联立,消去y，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

则Δ=144(1+k2)>0,且

(1)若k=0,则|AB|=4,|DF|=1.

(2)若k≠0,则线段AB的垂直平分线方程为

题2解析设P(x1,y1),Q(x2,y2)，将直线l的方程y=k(x-1)与抛物线方程联立,消去y，得

k2x2-(4+2k2)x+k2=0.

即k2=2.

故线段PQ的垂直平分线方程为

3 问题推广

下证命题2,命题1和命题3同理可证,略.

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),双曲线的半焦距为c,直线AB的方程为y=k(x-c),联立直线AB与双曲线的方程,消去y得

(b2-a2k2)x2+2a2ck2x-a2(b2+c2k2)=0.

(1)若k=0,则|AB|=2a,|EF|=c.

由以上命题及圆锥曲线的对称性,我们可得如下统一结论.

4 变式探究

在上述结果中,随着直线倾斜角的变化,线段EF的长度在发生变化,它们之间存在怎样的关系？

只证命题5,命题4和命题6同理可证.

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),双曲线的半焦距为c,直线AB的方程为y=k(x-c).

(1)若k=0,则|EF|=c.