例析质点系牛顿第二定律在连接体问题中的应用

2022-08-01许冬保

数理化解题研究 2022年19期

关键词：连接体钩码物块

许冬保

(江西省九江第一中学 332000)

在动力学问题中，若质点系中质点的加速度不尽相同，原则上应用隔离法处理有关问题.若使用整体法，则需要根据质点系牛顿第二定律来建立方程.在一般教辅资料中均有介绍，本文不作赘述.以下例谈质点系牛顿第二定律在连接体问题中的拓展应用.

1 质点系牛顿第二定律

在质点系中，若质点的加速度不同，根据力的独立作用原理，可以导出质点系牛顿第二定律的形式

2 质点系牛顿第二定律在连接体问题中的应用

2.1 平动连接体问题(加速度大小相等、方向不同的质点系)

例1利用图1所示实验装置及打点计时器(图中未画出)来验证“在小车质量不变的情况下，小车的加速度与作用力成正比”的结论，并直接以钩码所受重力mg作为小车受到的合外力，则实验中应采取的改进措施是什么？钩码的质量m与小车的质量M之间应满足的条件是什么？

图1

解析据题意，实验设计方法是直接以钩码所受重力mg作为小车受到的合外力，需要考虑两方面的问题：第一方面是必须消除摩擦力因素的影响，因此需要平衡(或补偿)摩擦力；第二方面是小车的牵引力等于绳对小车的拉力，该拉力小于钩码所受重力，显然绳子的拉力近似等于钩码所受重力mg需要满足一定的条件.分析如下：

设小车质量为M，小车所受牵引力为F，由牛顿第二定律，有

F=Ma

mg-F=ma

显然，当M≫m时，F≈mg.

因此，实验时若直接以钩码所受重力mg作为小车受到的合外力，需要采取的改进措施是平衡(或补偿)摩擦力，且使得小车的质量M远远大于钩码的质量m.

点评小车及钩码运动的加速度大小相等但方向不同，可否用质点系牛顿第二定律求解？我们可以将原实验装置进行等效变换，如图2所示，钩码所受重力为动力，则有mg=(M+m)a，再隔离其中一个物体为对象列式，可得同样的结果.

图2

例2 如图3所示为阿特武德机的示意图，它是早期测量重力加速度的器械，由英国数学家和物理学家阿特武德于1784年制成.他将质量同为M的重物用绳连接后，放在光滑的轻质滑轮上，处于静止状态.再在一个重物上附加一质量为m的小重物，这时，由于小重物的重力而使质点系做初速度为零的缓慢加速运动并测出加速度.若不计空气阻力，求质点系的加速度大小.

图3

解析设绳中的张力为T，加速度为a.由牛顿第二定律，有

(m+M)g-T=(m+M)a

T-Mg=Ma

点评此类问题一般用隔离法分析列式，若用质点系牛顿第二定律求解，同样可将质点系等效为如图4所示的情形，显然，(m+M)g-Mg=(m+2M)a，所得结果同上.

图4

2.2 转动连接体问题(加速度大小不等、方向共线的质点系)

例3 如图5，用长为L的轻绳(轻绳不可伸长)连接的甲、乙两物块(均可视为质点)，放置在水平圆盘上，甲、乙连线的延长线过圆盘的圆心O，甲与圆心O的距离也为L，甲、乙两物块的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，物块与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，甲、乙始终相对圆盘静止，则下列说法中正确的是( ).

图5

D.轻绳最大弹力为μmg

解析由题给信息知，乙做匀速圆周运动所需要的向心力是甲的两倍，而甲、乙两物块受到圆盘的最大静摩擦力相等，因此，乙最先达到最大静摩擦力，随圆盘转速增大，绳中开始出现张力，直到甲亦达到最大静摩擦力，此为临界状态.对应圆盘的最大角速度及绳中最大弹力.

考察甲、乙两物块做匀速圆周运动的向心加速度大小不等、但方向相同.设圆盘转动的最大角速度为ω.选取指向圆心的方向为正方向，则由质点系牛顿第二定律，有

μmg+μmg=mLω2+2mLω2

设绳中最大张力为F，选择甲(或乙)物块为研究对象，由牛顿第二定律，有

选项B、C正确.

点评两物块均做匀速圆周运动，考虑到两物块的加速度不同，通常是选用隔离法来处理.分别对甲、乙两物块，由牛顿第二定律，有μmg-F=mLω2，μmg+F=2mLω2.联立求解，结果同上.比较可知，应用质点系牛顿第二定律求角速度非常简洁.

例4如图6，在水平圆盘上放有质量为m、m和2m可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕中心轴OO′转动，且角速度可调，三物与圆盘的动摩擦因数均为μ.已知A、B、C三个物体与轴O共线，且OA=OB=BC=r，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且无张力，然后让圆盘从静止开始绕转轴缓慢的加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，取重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( ).