魏东升

(福建省厦门双十中学漳州校区 363107)

1 结论的提出

当m=n>0时，其表示圆；

当m≠n>0时，其表示椭圆；

当mn<0时，其表示双曲线.

在此基础上，我们还可以得到以下两个推论：

2 结论的证明

以下给出这组定值结论的证明：

定理证明设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为点C是线段AB的中点，

两式作差变形,得

推论1证明不妨取AC中点D，连接OD，

则OD∥BC.

由定理,得

3 结论的应用

这组定值结论在高考题中的应用非常广泛，可以用它们直接解答小题，也可以推导相关结论，还可以获取解题思路.

3.1 直接应用

又c=3，解得椭圆E的方程为

故选D.

评析定值结论其实是直线斜率、弦中点和有心二次曲线的标准方程(椭圆或双曲线的离心率)三者之间沟通的纽带，上述两个例题就很好地说明了这一点.

3.2 获取思路

对于大题，出于答题的规范性，我们不能直接利用结论进行解题，但可以考虑先证后用，或者在我们解题过程中给我们提供解题的思路，比如：

例3(2015年全国Ⅱ卷理20)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

证明设点A(x1,y1)，点B(x2,y2)，点M(xM,yM).

两式相减整理,得

从而kOM·kAB=-9.

即直线OM的斜率与l的斜率乘积的值为-9.

评析本题除了用点差法之外，还可以采用设而不求的思路.显然，熟悉定值结论的证明给我们的快速解题提供了很大的便利.

3.3 推导结论

A.(0,1]∪[9,+∞)

C.(0,1]∪[4,+∞)

解析当0

得0

当m>3，焦点在y轴上，

要使C上存在点M满足∠AMB=120°，

得m≥9.

故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).

故选A.

当且仅当kAM=-kBM时，即点M在短轴顶点时等号成立，此时tan∠AMB最大，即∠AMB最大.