洪冰虹

【摘 要】 十九大报告提倡要给学生提供有质量的教育，数学教学如何引导学生实现有质量的自主学习？近几年一线教师推行一系列学生改编数学陈题的变式教学活动，以期提高学生学习数学的效率.改编数学陈题旨在促进学生自主思考，生成知识迁移与应用，培养学生自主学习数学的能力，从而实现学生数学学习质量和效率的提高.本文以人教版A版（2019）高一数学教科书的习题为陈题，结合学生改编成果，探讨引导学生进行改编数学陈题的方法.

【关键词】 数学学习;变式教学;数学陈题

十九大报告指出，“努力让每个孩子都能享有公平而有质量的教育”.对于数学教育来说，何谓有质量的教育？《普通高中数学新课程标准》（2017年版）强调：“教师需要引导学生积累发现和提出问题，分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯，促进学生学会学习数学，自主学习数学.”简而言之，数学教学中秉持教师为辅，学生为主的理念，教师要引导学生养成良好的学习习惯，提高学生自主学习效率，让教师的主导作用和学生的主体作用碰撞出知识的火花，使教学效果最大化，进而实现学生有质量的数学学习.我国著名数学教育家张奠宙教授曾提出：“数学教育要引导学生学会从‘冰冷的美丽’中体验‘火热的思考’.”现代教学论亦指出教育的本质是获取而不是给予.那在平时的教学中，教师该如何引导学生提高数学学习的质量？

在数学学习生涯中，习题是学生学习的核心工具之一.学生通过解题应用巩固知识，这是习题在数学学习中的一大价值.但习题的作用不应止于此，作为教师的我们应该去发掘习题的潜在价值，使习题的功能最大化，让学生通过习题获得更佳的学习效果.

学生解题，题从何而来？从课本来？从试卷来？解题人却独独不是出题人.学生习惯以解题者自居，从解题者的立场思考.虽有所收获，但对于大部分学生来说，解题过程未必是学生主动内化的过程，稍不注意沦为解题机器，收效甚微.皮亚诺指出：“只有学生自我发现的东西才能积极地被同化，从而产生深刻地理解.”改编数学陈题的目的就在于打破学生的思维定势，以出题者的身份主动发现问题，主动思考知识的迁移联结，从单一知识点辐射到相关知识点，化被动学习为主动学习.

对于教师来说创编也有一定的难度，何况学生.故而笔者觉得可以先让学生尝试改编数学陈题，相当于“半编题”.陈题是指学生在自己或他人的帮助下已经解决的数学习题，它的出处可以是课本、练习册或者试卷.改编数学陈题是指高中生解决数学陈题后，结合自己以往学习积累的经验，以独立或者合作的形式对陈题进行数据、条件、设问或结构等的改编，将陈题改编成新题.

改编数学陈题，对于高中生来说，虽然有难度但也能攻克，就需要学生垫垫脚尖努努力就能完成.而维果茨基也提出教师应该为学生创造“最近发展区”，不仅给予学生现阶段水平能完成的学习任务，也要引导学生跨越“最近发展区”走在发展的前头.

近几年不少一线教师进行学生改编数学陈题的尝试，确信这一活动对于学生学习数学有促进作用.金杨建老师说：“命制一道新题并不是凭空‘灵机一动’的原创，更多的是给予某些好题‘水到渠成’的改编.”王爱娣老师也同意：“学生学会改编课本中的题目，不仅可以使学生由解题人的角度变换为出题人的角度，提高驾驭题目的能力，而且这个过程中，通过运用知识，可以提高学生的数学素养.”可见，改编数学陈题对于学生学习数学有一定的帮助.下面以人教版A版（2019）高中数学教科书的习题为陈题，结合学生改编数学陈题成果探讨引导学生进行改编数学陈题的方法，此处略去解题过程.

陈题1 已知|a|=2，|b|=1，且a-b与a+2b互相垂直，求证a⊥b.（必修二22页练习2）

1 同构改编

1.1 概念同义改编

教师进行学生改编数学陈题活动时应遵循由易到难的原则，明确活动的目的是为了促进学生思考，自主生成知识的迁移与应用，不宜一开始就设置过高的目标，打击学生的积极性.学生刚接触改编，一切都很陌生，不知从何入手.此时可以引导学生从通俗易懂的角度入手--概念同义改编，让学生把陈题中出现的概念换另一种形式描述，也就是改编该知识点的表达方式.这种形式的改编简单易操作，也能促进学生强化巩固该知识点.以下就是学生对陈题1进行概念同义改编的新题.

生1 已知|a|=2，|b|=1，-b与a+2b互相垂直，求a与b的夹角.

生2 已知|a|=2，|b|=1，-b与a+2b互相垂直，求a·b.

和陈题相比变化不大，只是改了设问的表述，变成一道熟悉的新题.对设问同义改编可以加深学生对知识点的印象，比如此处改编加深学生对向量垂直的相关概念与公式的掌握，特别在学完向量的坐标运算后，大部分学生总习惯用坐标判定向量垂直：a→⊥b→x1x2+y1y2=0，却忽视了最初的通用通法，即a→⊥b→a→·b→=0.

1.2 数据等价改编

数据改编之于学生也是一个可操作性强的方法，但数据改编的方向不是单一的.进行数据改编教师要提醒学生取值的合理性，结果是否符合实际.数据改编仅换数值，对陈题思路没有多大变化，这是浮于表面的改编，只能强化巩固知识点.若是数据改编引起陈题解题思路转变，乃至知识点的拓展，那就是深度挖掘了.下面针对陈题1进行数据等价改编，深度挖掘则放到后面再详谈.

生3 已知|a|=2|b|，-b与a+2b互相垂直，证明a⊥b.

學生在此处侧重于改编数据的呈现方式，与概念同义改编异曲同工.虽然思路不变，但能观察数据得出此类结果，学生也是下了一番功夫.不同的学生有不同的数学造诣，作为教师，我们要因材施教，新课改也点明，让每个学生在数学上有自己的发展.数学基础薄弱的学生，在改编数学陈题活动中可能大多浅尝辄止，仅仅进行更改数据等很小的改编，前后差别不大.虽然这是比较浅显的改编，但学生能自主思考发现问题提出问题，比起被动做题这就是在进步了.

1.3 互逆法

学生掌握了同义和数据改编后，教师可以开始在改编教学中融合逆向思维，实施逆命题改编.把条件和结论互换，这对学生来说是轻而易举的事.虽然容易，但能在一定程度上能转变学生的思维定势，提高学生处理数学问题的灵活性，而不是一条路走到黑.以下是学生用互逆法改编陈题1得出的：

生4  已知|a|=2，|b|=1，向量a与b的夹角为π2，求

（a-b）·（a-2b）.

条件和设问互逆，题目的知识点没有变化，但对于学生的刺激未必不大.学生在平时的解题过程中思维容易定势，同一个知识点，用逆向思维的角度考察，反而懵了.如能引导学生打破惯性思维多进行逆向改编，也不失为是对学生发散思维和创新思维的初步锻炼.虽然互逆法简单易操作，但教师也要提醒学生注意逆命题是否为真.

1.4 新瓶装旧酒

学生掌握基本的改编方法后，教师可以鼓励学生做更多的尝试--重塑题目，用不同的角度来考察同一个知识点，获得似曾相识的新题，比如下面由陈题1改编而来的：

生5 已知|a|=2，|b|=1，向量a与b的夹角为45°，且ka-b与a+2b互相垂直，求k？

生6  已知|a|=3，|b|=4，向量a+34b与a-34b

的夹角为？

题目和前面的几类新题相比变化较大，但本质上考察的知识点还是围绕向量的数量积和运算展开，只是解题思路发生了变化了.前面的几种改编改的仅仅是题目的呈现形式，不触及题目中心-解题思路.此處知识点没变，换的是知识的切入点.学生对经常遇到的模式敏感，若遇到罕见的考察方向，比如生6这道题，可能一开始也会无从下手.借助改编，帮助学生加深理解数学语言的转化和知识点的考察，提高学生审题能力，促进学生主动消化知识点的同构异现.

2 异构改编

2.1 重组整合

同构改编，基本上在陈题的知识圈里徘徊，学生上手了，教师就该提高要求，引导学生跳出原有的“知识圈”，以陈题的知识点为中心向外触碰 “细枝末节”，进行相关知识点改编，促进学生对该知识的迁移应用.

生7 已知|a|=1，|b|=2，向量a与b的夹角为π6，求|a-2b|：

生8 已知a=（2，5），b=（1，t），且b在a方向上的投影为2+153，求t：

这几道改编新题和陈题1关系不大，属于相关知识点改编：向量的模、投影和坐标运算.重组整合在一定程度上能促进学生加快熟悉知识板块的脉络，完善知识体系.平时复习课的模式大多是学生做题教师讲题，学生处于相对被动的学习状态.加入改编元素的复习课，迫使学生主动梳理、应用和联结知识点.一道改编新题，辐射到其他知识点，收获知识之间的联结应用，那是学生做几道习题才能有的收获，从一定程度上促进学生数学学习的效率，保证学生数学学习的质量.

2.2 深度挖掘

知识点的改编可以是横向知识点的拓展，比如重组整合将向量的数量积拓展到向量的模、投影和坐标运算等相关知识点，由知识点的A面辐射到知识点的B、C面.改编也可以纵向，向知识点深挖进行探究，从知识点A深究到知识点A1、A2 ……，比如下面的改编：

陈题2  求-x2+2x-3>0的解集（必修一52页例3）.

改编1  求x2-（1-a）x+a>0的解集.

改编2 求1+a-2x-3x2>0的解集.

改编3 求ax2-2x+a>0的解集.

这几道针对陈题2的改编重在系数的修改，也就是前面说的数据改编带来知识点的深度挖掘.由常规一元二次不等式迁移到含参数不等式，层层递进.进行纵向深度的改编，对学生的数学基础和学习能力有一定的要求，基础薄弱的学生，我们不做过多的要求;但是有能力的学生，我们教师还是应该鼓励他们克服懒惰情绪，敢于挑战尝试.帮助他们走出学习的“舒适圈”，跨过“最近发展区”，走在发展前端.

改编数学陈题的方法很多，此处未能一一阐述，仅讲述几种平时学生常用的方法，其中以数据、条件和设问的改编最为常见和高效.教师若能发掘更多适合学生的改编方法，指导学生有效改编数学陈题，让学生转化角色：以出题人的角度分析题目，找出隐含的数学信息，对题型做深度的思考，促进知识点联结和迁移.如此将能使学生适应多变的习题，提高学生驾驭题目的能力和解题效率，获得抽象，运算等多方面数学素养的发展，实现学生有质量的学习数学.

【本文受汕头市教育科学“十四五”规划项目（2021GHB031）资助】

参考文献：

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[5]董婷婷.一编多得——基于苏教版初中数学教材的学生编题方法研究[J].生活教育，2018（08）：106-109.

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