谢洁丹 韦才敏

【摘 要】 解析几何是高考的一个必考内容，其中三角形的面积问题是解析几何的一个重要方面，学生在解题时往往采取常规的解题方法，但往往计算量大，没有一定的运算技巧甚至难于解答.教师可通过一题多解，帮助学生从不同角度切入，通过优化计算方案和渗透运算技巧，提升学生的数学运算素养.

【关键词】 一题多解;运算技巧;运算素养

1 例题引入

例题 如图1，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1 记△FMM1、△FM1N1、△FN N1的面积分别为S1、S2、S3，试判断S22=4S1S3是否成立，并证明你的结 论.

2 例题思路分析

2.1 利用图形表象特征，常规思路分析

这是一个抛物线中关于三角形面积的证明问题，解决问题的关键在于：如何求出S1、S2、S3的表达式.于是，我提出问题：如何求解三角形的面积？学生们会不约而同地回答出以下两个公式：SΔ=12×底×高=12absinC.我再次提出问题：通过观察图2，你们会选择哪个公式来求解？学生们异口同声：SΔ=12×底×高.因为我们只要设准线l与x轴的交点为F1，即可得到S2=12M1N1FF1，而S1=12MM1F1M1，S3=12|MN1||F1N1|，于是我顺着学生的思路，那么这里面各线段长度，应该如何表示呢？不难发现，我们只要假设M（x1，y1），N（x2，y2），便可得到以下三个表达式：

S1=12·|MM1|·|F1M1|=12（x1+p2）|y1|，

S2=12·|M1N1|·|FF1|=12p|y1-y2|，

S3=12·|NN1|·|F1N1|=12（x2+p2）|y2|，

所以S22=14p2（y21-2y1y2+y22），S1S3=14（x1x2+p2（x1+x2）+p24）y1y2.

到了这里，学生们几乎都想到了韦达定理，通过联立直线MN的方程和抛物线方程消元.于是，考虑到直线经过F（p2，0），可设斜率为k，得到直线MN的方程为y=k（x-p2），由y=k（x-p2）y2=2px消去y得到：k2x2-p（k2+2）x+k2p24=0，

所以x1+x2=p（k2+2）k2，x1x2=p24.

结果中显然还有y21+y22，y1y2的值需要表示，怎么办呢？可否转化为x1+x2，x1x2来表示？如何表示？一连串的疑问，学生能够联系到利用①y1=k（x1-p2）y2=k（x2-p2），或者利用②y21=4px1y22=4px2应该可以解决问题，那么选择①还是②呢？求解成为了摆在学生面前的两条不同的路，于是，我将学生分成两组，让他们分别用①、②来完成这个问题.

结果发现选择①的同学在计算y21+y22=k2（x21+x22）-pk（x1+x2）+p2k22时，表达式有点繁琐，他们几乎有点想要放弃了，我及时提醒他们考虑回到原来y1-y22形式，很多学生马上恢复了活力，得到了：y1-y22=k2（x1-x2）2=k2（x1+x2）2-4x1x2，而y1y2=

k2（x1x2-p2（x1+x2）+p24）

最后我们将x1+x2=p（k2+2）k2，x1x2=p24代入到S1、S2、S3中，可得S22=4S1S3.

我们再回过头来，看看选择②的同学，比起选择①的同学，他们很快得到y21+y22=2p（x1+x2），y21y22=4p2x1x2，考虑到直线MN过焦点，故y1，y2异号，所以y1y2=-2px1x2，代入即可整理出S22=4S1S3.

2.2 发掘图形内在特征，非常规解题思路的分析

解析几何中，我们强调数形结合，也强调回归定义.我引导学生：如果这个例题我们回到抛物线的定义中来，可以得到什么结论？学生们马上注意到焦点弦MF，NF，且有MF=MM1，NF=NN1，那么我们可以得到ΔM1MF，ΔN1NF为等腰三角形，此时我抛出问题：利用MM1//FF//1NN1，能够得到ΔM1FN1是否为特殊的三角形？

学生通过利用平行线的性质，得到了∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=1800即所以∠F1FM1+∠F1FN1=900故FM1⊥FN1

所以ΔM1FN1为直角三角形.

利用图形特征，我引导学生得到了三角形ΔM1MF，ΔN1NF，ΔM1FN1为特殊的三角形，那么，如何引入恰当的参数，结合公式SΔ=12absinC来表示他们的面积呢？首先要明确的是，该公式须知三角形的两条边和它们的夹角，那么对于三角形ΔM1MF，ΔN1NF，为了减少变量，我们可以引入哪些参数呢？

学生们马上想到了MF=MM1，NF=NN1，而夹角∠M1MF和∠N1NF满足∠M1MF+∠N1NF=π，为了书写得方便，他们设MF=r1，NF=r2∠M1MF=α，

则∠N1NF=π-α于是S1=12r21sinα，S3=12r22sin（π-α）=12r22sinα借助了变量r1，r2，α学生们得到了S1，S3.

而对于S2，有些同学感觉到有点棘手，似乎想回到我们（一）中的常规方法中来，如果是这样的话，问题就会变得复杂了，我及时引导学生，应该利用引入的r1，r2，α来表示S2，这个时候，估计学生们可能还会茫然，于是我再加强条件：ΔM1FN1为直角三角形，是否可以考虑S△M1FN1=12|M1F|·|N1F|？學生恍然大悟，想到了余弦定理来表示M1F，N1F，得到了：

|FM1|2=2r21-2r21cosα=2r21（1-cosα），|FN1|2=2r22+2r22cosα=2r22（1+cosα），

所以S22=14|FM1|2·|FN1|2=14·4r21·r22·（1-cosα）（1+cosα）=r21r22sin2α=4S1S3.

3 例题反思

3.1 重视引导学生数形结合

在该例题中，我们看到了图形特征在解题策略中所占据的重要作用，它会影响我们对面积公式的选择，也直接造成了不同程度的计算量.因此，我在教学中，重视引导学生数形结合.

3.2 回归定义

定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，所以在该例题中我引导学生注意抛物线的定义和几何特征.

3.3 一题多解，培养学生三“多”

在高三的教学中，我注重培养学生：多观察，多总结，多尝试.通过三“多”，让学生参与到探索新知中来，充分锻炼了学生的自主学习能力.

【本文受汕头市教育科学“十四五”规划项目（2021GHB034）资助】