刘华 景慧丽

摘要：泰勒公式是高等数学课程中的教学重点和难点，学生对其总是望而生畏。在教学设计中首先充分分析学生学情基础，然后通过自然常数 的近似计算引入，由浅入深，由具体到抽象，由特殊到一般，引导学生猜想、论证、协同探究，逐步建立泰勒公式。让学生深度参与公式的建立过程，消除学生疑惑，化解学生畏难情绪，从而达成高效的学与教。

关键词：泰勒公式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项;以学生为中心;探究式

泰勒公式是一元函数微积分的一个重要内容，不仅在理论上占有重要地位，在近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面也有重要应用。但是，泰勒公式是教学难点，学生看到其复杂的表达形式更是无所适从。为破解这一教学难点，笔者从学生角度出发，深入分析原因，找出症结，进行有针对性的教学设计。在教学过程中充分发挥学生的主观能动性，通过问题优化设计，层层递进，在问题的不断解决过程中，协同建立泰勒公式。

1.学情分析

泰勒公式形式復杂，内容抽象，学生更是对这种表达形式感到莫名其妙。例如，

以上正是函数 泰勒展开式的两种形式，分别是Peano型余项的泰勒公式和Lagrange型余项的泰勒公式。从形式上，学生不解的是为何要将一个简单的函数表示成多项式函数 与余项 之和的形式？从内容上，不理解这样一个转化有何用途，两种不同的余项形式本质区别是什么，各有什么应用？从理论上，这种转化有何意义，其蕴含的思想方法是什么，如何从更高层次理解公式的意义，对学生来讲更是一个巨大的挑战。

为什么学生对泰勒公式总是敬而远之。从内容来看，一方面是因为泰勒公式的表达形式繁琐，难以记忆;另一方面是因为对泰勒公式的作用与地位也不理解，不知学来何用。从学生自身角度看，学习能力有所欠缺，主动学习意识不强，学习方法亟待改进，数学符号、数学语言的掌握不好，面对这样一个看似违背常识的复杂公式更是一头雾水。

基于上述分析，要达成较好的教学效果，实现既定教学目标，必须从学生角度出发进行教学设计。首先基于最近发展区理论创设情境，以问题为牵引，设疑激趣，诱导启发，层层递进，引导学生共同建立泰勒公式。在问题的解决过程中建立公式，在共同讨论的过程中释疑解惑，在进一步的探索中理论升华。

2.以学生为中心的教学设计

2.1创境设疑，吸引学生

问题情境的创设对于问题的解决至关重要，因此在设计问题情境时必须充分考虑学生实际。最近发展区理论指出，教学应着眼于学生的最近发展区，搭建学生现有知识和新知识之间的桥梁，为学生提供带有一定难度的问题，通过引导启发，激发学生潜能，实现对问题的解决，达成掌握新知识、领悟新方法的教学目的。

本文所创设的问题情境是目标定位问题。已知雷达测得目标的距离和仰角，计算目标的高度（计算结果需满足精度要求）。这个问题归结于三角函数的近似计算，学生在高中时可以通过查表计算？但表中的数据是如何获得的？其精度是否能达到实际需求？学生可能根本就没有想过这样一个问题。之前的学习，更多的是接受，少质疑，欠思考，不太会去深入地思考来龙去脉。创设这样一个问题情境，可以引起学生的共鸣，吸引学生，激发学生继续学习的兴趣。

2.2问题驱动，引导学生

面对上述问题，学生可能是满眼疑惑，无从下手。此时就需要老师通过问题驱动的方式引导学生分析问题、解决问题。能否达成引导的效果，问题设计很重要，其具体设计要具有科学性、层次性、递进性，更重要的还要具有对问题解决的启发性。因此，在问题设计时同样要考虑学生已有的知识结构以及思维特点。

因此，在解决上述问题时采取迂回的策略，先讨论一个具体的，学生又相对熟悉的问题，然后再来解决三角函数的近似计算问题。自然常数 学生既熟悉又陌生，知道它是一个无限不循环小数，近似等于 ，可这个近似的数值结果是怎样得到的，其误差又如何，以此问题作为切入点进行探讨。

2.3协同探究，帮助学生

通过式（1），学生容易知道，令 就可以得到 的近似值，此时问题又转化为式（1）中的多项式是如何得到的？如何估计其误差？这里结合学生的认识规律，遵循由具体到抽象，由特殊到一般的方法，在式（1）中先取 ，即有 。下面结合数值计算、几何观察、类比推广、理论证明与学生一道，协同探究，建立泰勒公式。

1）基于 利用 近似求解自然常数 。

通过计算得出 ，显然与相差较大 ，从理论上可知，上述近似的前提条件是 较小，这里令 得到自然常数 的近似值，误差自然就较大。另外，从几何图形上，也容易观察到误差会比较大具体见图1。

上述过程是本次课的重点，协作探究的目的是让学生深度参与到公式的建立过程，使学生体会数学知识的产生过程，让学生感受到数学的魅力，增加学生学习数学的兴趣，从而提升学生学习数学的能力，激发学生的创新意识。

2.4纵横联系，理论升华，提升学生素养

上述讨论过程是以具体的近似计算问题入手，通过与学生协同探究建立了两种余项形式的泰勒公式。有了泰勒公式，就可以解决开篇提出的目标定位问题了。开篇以近似计算问题切入，探讨泰勒公式，其目的是化解难点，从学生容易接受的问题入手，破解教学难点。事实上，泰勒公式除了可以应用于近似计算之外，还可应用于极限计算、不等式证明、级数及广义积分敛散性的判定、行列式的计算等等。由于本文重在讨论教学设计，其它方面的应用这里不再展开讨论。另外，需要说明的是，在创设问题情境时考虑选择与学生专业相匹配的例子。

泰勒公式除了上述的一些应用之外，在教学的最后还应该有所升华。泰勒公式的理论意义一是体现了一种“逼近”的重要数学思想，而且是一种非线性逼近;一是建立了函数与高阶导数之间的联系，提供了研究充分光滑函数的整体性质的重要工具。另外，从信息论的角度看，该公式还提供了一种利用已知信息来表示未知信息的途径。除此之外，在公式建立过程中所用到的一些数学思想方法，比如由具体到抽象、由特殊到一般，数形结合，类比、化归，合理猜想、严格论证等，要引导学生去体会、去掌握，从而提升学生的数学素养。

3.课后反思与总结

通过在教学过程中的尝试发现，大部分学生都能接受这种以他们自己为主的教学方式。学生参与教学过程的积极性、主动性都比较好。虽然面对的是比较难的教学知识点，但是学生还是愿意主动深入探讨。充分说明了这种设计的优点，相比教材上的设计或传统的给出公式、证明公式的教学更利于学生的学习。

参考文献：

[1]董彩君.数学归纳法推导泰勒公式[J].许昌师专学报，2015，VoL.15 No.1

[2]沙萍.带有佩亚诺余项的泰勒公式的推证方法——基于探索式教学法的教学实践[J].数学学习与研究，2021（5）：150-151

[3]高等数学[M].同济大学数学系.7版.北京：高等教育出版社，2014：137-143

作者简介：

刘华，1979年2月25日，男，汉，安徽阜阳，研究生，副教授，大学数学教育，火箭军工程大学。