陈敬琪

【摘要】三角函数是高中数学教学和学习的重要内容，是高考的必考知识点，它可以和很多知识点相结合，综合考查学生的数学能力，是数学学习和应用的基础。采取科学有效的教学策略，可以提高教学效率和学生学习效率。

【關键词】高中数学;基础知识;一题多解;数学思想

三角函数是高中数学教学和学习的重要内容之一，同时也是高考考查的重点内容之一。高中数学人教2019版教材设计指出：通过三角函数的概念，性质和应用等内容的学习，提升数学学科核心素养。学生通过三角函数的学习，可以提高他们的思维能力、解决问题的能力和运算能力，对后面的数学学习具有积极的促进作用。三角函数的概念相对抽象，难度较大，公式繁多且公式之间有存在一些关联性，学生在学习过程中会遇到很多困难，如：对诱导公式、两角和差公式、倍角公式的公式的记忆时常记混，不能明确应用哪些公式去解题的情况司空见惯。因此，探究科学有效的三角函数教学策略是一个重要的课题。笔者结合自己的教学经验，对提高三角函数的教学效率和学生学习效率提出自己的见解。

一、注重基础知识的培养，增强学生的信心和兴趣

基础知识是最基本的知识技能，扎实的基础是学习前进的根源。三角函数的概念、公式和性质是繁杂的，学生在学习的过程中比较容易出现理解不清晰，公式混记等困难，而这些繁杂的概念、公式和性质恰恰是三角函数学习的基础，是之后学习、应用的前提基础，只有掌握其中的实质，领悟各知识点之间的关联，才能在具体的应用解题过程中，灵活恰当地选取对应的知识点进行解题。因此，教师要注重对学生基础概念、公式、性质理解的培养，只要学生觉得，公式虽多，但有规律易记，知识似曾相识，就有兴趣继续探讨研究，才越学越有信心，越有兴趣。所以，对基础知识的培养，不仅仅是通过牢记公式，多做练习来巩固，也要在学习过程中给予适当的方法指导，同时还要关注高考，有的放矢进行教学，避免出现难题偏题等，帮助学生总结，发现规律，把书读薄。

例如，在探究学习三角函数的值在各个象限的符号问题时，我们有这样的结论：在第一象限的角，三角函数值都是正的;在第二象限的角，只有正弦的值是正的，余弦和正切的值是负的;在第三象限的角，只有正切的值是正的，正弦和余弦的值是负的;在第四象限上的角，只有余弦的值是正的，正弦和正切的值是负的。这时我们可以把结果总结为“一全正，二正弦，三正切，四余弦”12个字，这样，相信学生更易记住这个结论，也记得牢固。

又如，在探究三角函数的性质的时候，可以引导学生类比之前学习指数函数、对数函数的性质时的方法来进行发现学习。这样一来，学生马上就会想到可以用函数的图像来研究三角函数的性质。有了之前的学习经验，性质总结起来熟门熟路，得心应手。

二、适当应用“一题多解”的方法， 巩固新旧知识，锻炼学生思维

虽然三角函数的题型众多且灵活多变，但万变不离其宗，基本是围绕着三角函数的基本公式，性质来变化的，所以也不是一味地多做题就能达到巩固知识的目的，应当采取有针对性的练习来提高学生的学习效率，跳出题海战术。笔者认为，在三角函数的习题教学中，可适当采取“一题多解”来训练提高。所谓“一题多解”是指就同一个题目而言，从不同的角度、不同的方位去思考分析问题的关系，用不同的方法求得结果的思维过程。通过“一题多解”可以引导学生从不同角度、多方探索解决问题，既巩固了新旧知识，又锻炼了学生思维的灵活性和广阔性。

例如，已知且，则的值为______.

解法一：   由及sin2α+cos2α=1，可得，.

于是有.

解法二：  由，可得sin α-cos α=.

将上述等式的两边平方，可得.

于是有.

因为，所以，

所以.

对于解法一，由及sin2α+cos2α=1联立方程，求出sin α，cos α的值，进而代入化简求值，是最易想到的，也是最常规的方程思想解法。（下转第23版）             （上接第22版）对于解法二，通过所求结果化简及已知条件变形得sin α-cos α=，通过观察发现：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α cos α三者之间的互相转化关系演变而来的解法，除了熟练公式的变形，还回顾了旧知识。

又如，已知R，，则tan2 α=____.

解法一：∵， ∴ .

∴或

∴或3 ，∴  .

解法二：由两边平方得.

即

所以有

左边式子分子分母同时除以cos2α，化简可得.

所以 或3，所以.

解法三：因为，

所以猜想取特殊值：，

所以3，所以.

解法一是最常规的方程思想解法;解法二是通过变形，构造分母为“1”与sin2α+cos2α=1联系起来，进而进行弦切互化求值的过程，两种解法各自从不同的方向考虑解题，但是都是围绕着同角三角函数两个关系式进行变形应用。另外，这是一道填空题，还可以根据条件，引导学生进行联想猜想特殊值，进行求解，进而有了第三种解法：特殊值法。

这样，通过“一题多解”的训练，不仅促使学生理解各个知识点之间的联系，从不同角度思考发现问题，解决问题，从中也学到解决问题的常见思想方法，巩固了所学知识，也锻炼了学生思维的灵活性和广阔性，提高了思维的品质。

三、注重数学思想和一般方法的渗透和引导，提高学生的数学能力

三角函数中蕴含着丰富的数学思想和一般方法。例如在新人教2019版高中数学第一册课本第183页例题6中，利用已知条件，和同角三角函数的两条基本关系式，求出cos α和tan α的值，利用关系式知一求二，这就蕴含了函数方程的思想，又因为sin α=<0，所以α是第三或第四象限角，因此要分两种情况求出cos α和tan α的值，在解题过程中又体现了分类讨论思想的应用。又如，课本第225例题8，在解答过程中，课本提到：“证明用到了还愿的方法。如把α+β看作θ，α-β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式。或者，把sin α cos β看作x，cos α sin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程（组）求x。它们都体现了化归思想。”又如，在学习三角函数的性质中，课本类比一般函数性质的探究方法引出三角函数性质的探究思路，学习过程中，始终引导学生用类比的方法，数形结合的思想来总结三角函数的性质。

这些类比，特殊化，化归等方法都是研究数学的一般方法，在教学时，要注重引导学生学习这些方法，形成良好的思维品质，为之后的数学学习打下良好的基础。要引导学生分析问题和解决问题，培养学生独立思考和创新的能力，在数学问题的探索过程中，发现并领悟蕴藏在数学问题中的一般规律，形成数学思想方法，并且熟练地掌握它们。从而逐步实现让学生从懂得“会模仿做”到懂得“会怎么想”的转变，学会独立、主动地去获取知识，探索新知识，提高学生的数学能力。

总之，三角函数是高中数学教学和学习的重要内容，是高考的必考知识点，它可以和很多知识点相结合，综合考查学生的数学能力，是数学学习和应用的基础。在教学时，要注重基础知识的训练，避免引入难题、偏题、怪题，既增加了不必要的学习负担，又打击了学生的学习信心和兴趣;要适当一题多解，帮助学生总结方法规律，避免题海战术，浪费大量时间精力;注重数学思想和一般方法的渗透和引导，着重培养学生分析问题和解决问题、独立思考和创新的能力，加强运用数学思想方法的意识。

参考文献：

[1]蔡小雄.更高更妙的高中数学一题多解与一题多变（第二版）[M].浙江大学出版社，2018.

责任编辑  胡春华