杨伟伟

排列组合是高中数学学习中的难点，常常以客观题的形式出现在高考试题中。面对不同限制条件时，我们会有不同的选择方法，比如相邻元素用“捆绑法”，不相邻元素用“插空法”，定序问题用“倍缩法”或者“空位法”，资源分配往往先分组后分配等。接下来我们要探讨面对特殊元素或者特殊位置时可以选择的解题策略。

一、排队问题

例1 （2021届马鞍山高三第一次教学质量检测）在“学宪法、讲宪法”活动中，将甲、乙、丙、丁4位法律老师分配到A、B、C、D4个班级进行宣讲，每个班级分配1位老师。若甲不分配到A班，丁不分配到D班，则分配方案的种数为（

）。

A.12

B.14

C.16

D.24

分析：先分清谁是特殊元素，谁是特殊位置。可以知道甲、丁是特殊元素，A班、D班为特殊位置。

解：特殊元素优先法：甲不到A班，只能去B、C、D中的1个，由于丁不分配到D班，所以需要对甲是否分到D班进行分类，第一类甲分到D，剩下的进行全排有A3 =6（种）方法;第二类甲分不到D，有2种选择，接着看丁，丁有2种选择，剩下的进行全排，有2×2×A2 =8（种）方法。故共有14种方法，选B。

特殊位置优先法：甲不分配到A班，说明A班有乙、丙、丁3位，又因为丁不分配到D班，所以需要对A班是否有丁进行分类，第一类A班有丁，有A3 =6（种）方法;第二类A班无丁，有乙、丙2种，再看D班，有2种，剩下的全排A2，有2×2×A2=8（种）方法。总共有6+8=14（种）方法。

当然我们也可以考虑正难则反用间接法，A4 -2A3+A2 =14。答案为B。

点评：甲、丁是特殊元素，A班D班为特殊位置均为两个，所以选择两种方法均可。

例2 （2021届重庆一中高考数学押题卷）现有甲、乙、丙、丁、戊5人参加社区志愿者服务活动，每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加。若甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是（ ）。

A.234

B.152

C.126

D.108

分析：5人从事4项工作每项工作至少有1人，所以必然有2人一起;甲、乙为特殊元素，开车为特殊位置。

解：特殊元素优先法：按甲、乙是否在一起进行分类。若甲、乙在一起，则只能从事团购、体温测量、进出人员信息登记3项中选一项，剩下3人没有要求，即C3 A2=18;若甲、乙不在一起，则可能丙、丁、戊3人中有2人在一起，即C，然后再给甲、乙2人从事团购、体温测量、进出人员信息登记3项工作中选2项，即A3，最后再把剩下的2个全排列，即A;，故C3A3A2=36;甲或乙与丙、丁、戊3人中的1人在一起，故C2C3 A3A2=72。

所以总共18+36+72=126（种）。

特殊位置优先法，按开车1人还是2人来分类。若开车1人，剩下4人3个位置，每个位置至少1人，可以先分组后分配，即

所以总共108+18=126（种），答案为C。

点评：甲、乙为特殊元素，开车为特殊位置，如果选择特殊位置优先会简单很多。

例3 （2022届衡水金卷广东省联合质量测评）甲、乙、丙、丁4名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C3个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表（表1）。

这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向。若要求A，B，C3个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法数为（ ）。

A.14

B.11

C.8

D.5

分析：先确定谁是特殊位置，谁为特殊元素，然后判断是特殊位置少，还是特殊元素少，其次4人去3个路口，每个路口都要有人，所以必须有一个路口2人，其他路口均为1人。

解：位置优先：A，B，C三个位置，明显C的元素较少，所以按C路口人数为1人或是2人来进行分类。若C路口1人（丙或丁），当C路口是丁时，还剩A、B两个位置以及甲、乙、丙3人，即C1A2=6，若C路口是丙，还剩A、B两个位置以及甲、乙、丁3人，而A必须要有丁，接着对A分类，A（丁），A（甲、丁），A（乙、丁）3种可能;当C路口2人（丙、丁均在）时，还剩A、B2个位置以及甲、乙2人，进行全排A2 =2。

所以总共6+3+2=11（种）方法，选B。

元素优先：由于选项数据不是很大，可以考虑一一列举，总要有2人去一个路口，根据哪两个人一起进行分类。甲、乙一起总共3种{甲乙（A）丙（B）丁（C），甲乙（B）丙（A）丁（C），甲乙（B）丙（C）丁（A）};甲、丙一起总共2种{甲丙（A）乙（B）丁（C）.甲丙（B）丁（C）乙（A）};甲、丁一起總共1种{甲丁（A）丙（C）乙（B）};乙、丙一起总共2种{乙丙（A）甲（B）丁（C），乙丙（B）丁（C）甲（A）};乙、丁一起总共1种{乙丁（A）丙（C）甲（B）};丙、丁总共2种{丙丁（C）甲（A）乙（B），丙丁（C）甲（B）乙（A））。所以总共有3+2+1+2+1+2=11（种），答案为B。

点评：按元素优先分类情况多而复杂，如果选择位置优先分类会清晰又简单。

二、数位问题

例4（2022届济南上学期二轮模拟）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有（ ）。

A. 60个 B.48个

C.36个 D.24个

分析：小于50 000的偶数，有两个限制条件一个是小于50 000，另一个是偶数，所以个位为特殊位置且只能从2，4中选，万位只能是4，3，2，1。

解：先选个位有2种，其次选万位，万位有3种选择，最后剩下的数字全排列，即A;-6，根据分步计数原理知，共有2×3×A3=36（个）。答案为C。

点评：个位和万位为特殊位置，选择特殊位置优先会简单很多。

例5（2022届上海高三一模）把1，2，3，4，5这5个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有。

分析：因为要求该数列恰好先递增后递减，所以5为特殊元素，可按5所在位置进行分类，且5只能在第二、第三或第四的位置，根据特殊元素所在位置不同进行分类。

解：当5在第二个位置时，第一位置可以有4种可能，只要第一位置确定，这个数列也就唯一确定;当5在第三位置时，前两个位置有C4=6（种）可能，而剩下的位置和数字也唯一确定;当5在第四位置时情况和5在第二位置时是对称关系，可知也有4种可能。所以总共应该有4+6+4=14（种）情况。

点评：既要考虑特殊元素，又要考虑特殊位置。

例6（2021届海南三模）（多选题）从1，2，3，4，5，6中任取3个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中（ ）。

A.奇数有60个

B.包含数字6的数有30个

C个位和百位数字之和为6的数有24个

D.能被3整除的数有48个

分析：是数字的排列问题，要注意特殊元素与特殊位置。

解：对于选项A：个位从1，3，5中任取1个数即可，剩下的数字选2个进行全排列，即3×A2= 60（个），所以A正确。

对于选项B：先从1，2，3，4，5选2个数字出来，此时加上6共有3个数字，进行全排列，即C2 A3一60，所以B错误。

对于选项C：和为6有两类，一类1，5组合，另一类2，4组合。当为1，5组合时个位和百位有A2种可能剩下的数字选1个即可，即A2C1=8（种）;同理，当为2，4组合也有8种。总共16种，所以C错误。

对于选项D：能被3整除，个位十位百位3个位置数字之和要为3的倍数，所以取出的数有{1，2，3），{1，2，6）{1，3，5）{1，5，6）{2，3，4}{2，4，6）{3，4，5）{4，5，6}等8种可能，每一种可能又有A;=6（种）情况，所以总共48个，D正确。

答案为A、D。

点评：奇数就要考虑个位是奇数，特殊位置优先会简单;被3整除就需要考虑所有数位的数字之和能被3整除，先选出特殊元素，选用特殊元素优先会简单。

從以上分析可以看出，面对特殊元素或者特殊位置，我们首先应判断谁是特殊元素谁是特殊位置，是特殊元素少还是特殊位置比较少，然后选择分类的标准。如果我们能快速判断哪一种分类比较明确具体，计算起来比较方便，不妨先选择这种方式。总的来说，无论选择谁优先都是可以的，甚至有时候特殊位置与特殊元素必须综合起来去看，两者相得益彰。所以只要同学们觉得哪种方式更适合自己的思路，更符合自己的认知，能更快更好地解答问题就好了。