刘裕辉

这几年新冠肺炎疫情的暴发让人们猝不及防，但强大的中国人民有效地遏制了病毒的蔓延。数学源于生活，针对防疫、抗疫的数学试题，让人眼前一亮。下面从几个方面探讨与疫情情境交融的概率统计问题。

一、考查抽样方法

例1 2020年一场突如其来的新冠肺炎疫情让全世界生灵涂炭、经济停顿，应对新冠肺炎的有效办法之一就是接种疫苗。目前常见的国产疫苗有3种，生产厂家分别是国药集团武汉生物研究所（国药武汉）、国药集团北京生物研究所（国药北京）、科兴控股生物技术有限公司（科兴生物），某地分别从这三家厂家采购了30 000支、20 000支、50 000支疫苗用于接种，每人要接种两支，且需接种同一厂家生产的疫苗。所有疫苗都接种完后，某同学为调查疫苗接种的效果采用分层抽样的方法从所有已接种人员中抽取部分个体进行调查，若已知他调查的人员中，接种科兴生物疫苗的人数比接种国药北京疫苗的人数多150，那么他所抽取的样本容量是（ ）。

A.250

B.500

C.750

D.1 000

解析：由题意可知，总体中有100 000个个体，设他所抽取的样本容量为n。

某地分别从这三家厂家采购了30 000支、20 000支、50 000支疫苗用于接种，接种科兴生物疫苗的人数比接种国药北京疫苗的 人数多150，故50000/100000 n一20000/100000=150，解得n = 500。

故选B。

点评：数学阅读能力是各种数学思维的基础和前提，其直接影响到同学们数学学习过程中问题解决能力的形成和提高。

练习1：某小区共有住户2 000人，其中老年人600人，中年人1 000人，其余为青少年人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为一。

解析：現采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为400×1000/2000=200。

二、考查统计图与样本特征数

例2 2021年7月28日扬州发生了新冠疫情，图1记录的是7月28日到8月23日扬州每日新增病例数，从图表中我们能得到的正确信息是（ ）。

A.从7月28日到8月23日扬州每日新增病例数最少0人，最多58人

B.从7月28日到8月23日扬州每日新增病例数多于41人的有3天

C.从7月28日到8月5日每日新增病例数逐日递增

D.从8月7日到8月12日每日新增病例数先逐日递增后逐日递减

解析：对于A，从7月28日到8月23日扬州每日新增病例数，8月22日和8月23日最少为0人，8月5日最多为58人，故选项A正确;

对于B，从7月28日到8月23日扬州每日新增病例数多于41人的有4天，它们是8月5日，8月6日，8月9日，8月10日，故选项B错误;

对于C，从7月28日到8月5日每日新增病例数不是逐日递增，而是先增后减再增，故选项C错误;

对于D，从8月7日到8月12日每日新增病例数先递增后递减，故选项D正确。

故选AD。

点评：本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键。

例3 2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准符合条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准，现已对18至59岁的人提供。根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图2），估计该地接种年龄的中位数为（ ）。

A.40

B.39

C.38

D.37

解析：年龄位于[18，24）的频率为0. 013×6=0. 078，年龄位于[24，30）的频率为0. 023×6=0.138，年龄位于[30，36）的频率为0. 034×6=0. 204，年龄位于[36，42）的频率为0. 040×6=0. 240。

因为0. 078+0. 138+0. 204—0.420<0.5，且0. 078+0.138+0.204+0.240 -0. 66>0.5，所以中位数位于[36，42）。

设中位数为z，则0. 078+0.138+0. 204+（x -36）×0.04=0.5，解得x=38，故选C。

点评：问题情境是通过文字与符号的形式考查同学们“以生考熟”的转化能力。

练习2：我国疫情基本得到控制，海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求。某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品。质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零件质量（单位：g），得到频率分布直方图（图3）。

（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0. 01）。

（2）若从这50个零件中质量位于[70.5，72.5）之外的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个的质量在[72.5，73]内的概率。

（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批零件有10 000个，某采购商提出两种收购方案：

A.所有零件均以0.5元/g收购;

B.质量位于[71.0，72）的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购。

请你通过计算为该厂选择收益最好的方案。

解析：（1）零件质量位于[70.0，71.0）的频率为（0. 08+0. 20）×0.5=0. 14。

零件质量位于[70.0，71.5）的频率为（0. 08+0. 20+0. 76）×0.5=0. 52。

因为0. 14<0. 5<0. 52，所以这50个零件质量的中位数位于区间[71.O，71.5），设为x。

则0. 14+（z- 71）×0.76一0.5，解得x≈71. 47。

故这50个零件质量的中位数为71. 47。

（2）质量位于[70.O，70.5）的零件个数为50×0. 08×0.5=2。

质量位于[72.5，73. 0]的零件个数为50×0. 12×0.5=3。

故这2个零件中恰好有1个的质量在

3[72. 5，73]内的概率为。

（3）这组数据的平均数为：

（0. 08×70. 25+0.20×70. 75+0. 76×71. 25+0.68×71. 75+0.16×72. 25+0. 12×72. 75）×0.5=71. 5。

方案A：收益为10 000×71.5×0.5—357 500（元）;

质量位于[71.O，72）的零件个数为lO ooo×（0. 76+0. 68）×0.5=7 200。

质量位于[71.O，72）之外的零件个数为10 000-7 200-2 800。

方案B：收益为7 200×40+2 800×30=372 000（元）。

因357 500<372 000，故该厂选择方案B。

三、考查概率的计算

例4按照四川省疫情防控的统一安排部署，国庆后继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作。该区设置有A，B，C三个接种点位，每个市民需间隔28天后完成两针的疫苗接种，每一针都可以随机选择去任何一个点位接种，则该区有接种意愿的某人，在同一接种点位完成两针疫苗接种的概率是（ ）。

点评：本题以防疫中的疫苗接种为背景设置概率题，将“用频率估计概率”的思想方法渗透其中，体现出数学源于生活又高于生活。

练习3：接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法。我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗工作，截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新型冠状病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种。若甲、乙、丙、丁4人去接种新冠疫苗，则恰有2人接种同一种疫苗的概率为（ ）。

A.4/9 B.9/16 c.2/3 D.8/9

解析：截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗供接种者选择，每位接种者任选其中一种。

甲、乙、丙、丁4人去接种新冠疫苗，基本事件总数n=34=81。

恰有2人接种同一种疫苗包含的基本事件个数m =C4C1A2 =36。

则恰有2人接种同一种疫苗的概率P=m/n=4/9，选A。

四、考查统计案例

例5 （2021年湖南师大附中高三月考）新型冠状病毒主要在人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上。该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵人人体至最早出现临床症状的这段时间。潜伏期越长，感染到他人的可能性越高。现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行统计，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为2. 252。如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，就得到下面的列联表（表1）。

（1）是否有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？

（2）假设潜伏期X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s-。

①现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性;

②以题目中的样本频率估计概率，设1 000个病例中恰有k（k∈N*）个属于“长潜伏期”的概率是P（k），当k为何值时，P（k）取得最大值？

点评：本题合理选用生活中的背景材料设置概率题，让同学们容易接受，并快速进入答题状态。

练习4：（2021年山东高三月考）2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年。某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格（表3）。

五、考查分布列与期望

例6接种新冠疫苗可以有效降低感染新冠肺炎的概率。某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种。假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足。为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）。若甲、乙、丙、丁4个人各自独立地去接种第一针新冠疫苗。

（1）求这4个人中恰有1个人接种A种疫苗的概率;

（2）记甲、乙、丙、丁4个人中接种A种疫苗的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望。

解析：（1）记4个人中恰有1个人接种A疫苗的事件为M。

点评：本题背景设置为接种新冠疫苗，是防疫工作的需要。教育部相关部门对高考命题提出了不少具体要求，其中强调要“加强情境创设”，并认为“情境是高考评价体系的载体”，情境题能更好地考查同学们的创新精神、实践能力及同学们的核心素养，可见情境问题在高考中的重要地位。

练习5：在中国共产党的坚强领导及全国人民的共同努力下，抗击新冠肺炎疫情工作取得了全面胜利，但随着复工复产的推进，某地的疫情出现了反弹，为了防止疫情蔓延，该地立即开展核酸检测工作。为了提高检测效率及降低医耗成本，采用如下方式进行核酸检测：采集5个人的咽拭子共同组成一个标本，对该标本进行检测，若结果呈阳性，说明5个人中有疑似新冠肺炎感染者，则需要进行第二阶段的检测，到确定出疑似新冠肺炎感染者为止;若结果呈阴性，则无需再进行检测。已知某个标本的检测结果呈阳性且只有1人是疑似新冠肺炎感染者，现提供第二阶段的两种检测方案。

方案甲：逐个检测，到能确定出疑似新冠肺炎感染者为止。

方案乙：先任取3人的咽拭子共同组成一个标本进行检测，若结果呈阳性则表明这3人中有1人是疑似新冠肺炎感染者，然后再逐个检测，到能确定出疑似感染者为止;若结果呈阴性，则在另外2人中任取1人检测，即可确定出疑似感染者。

（l）若ξ表示方案甲所需检测的次数，求ξ的期望;

（2）以所需檢测次数作为决策依据，采用哪个方案效率更高？

解析：（1）方案甲化验次数ξ的可能取值为1，2，3，4。