杨文金

独立性检验问题具有很强的现实背景和较强的实践性。与它有关的试题情景新颖，富有时代气息，贴近生活，能充分调动同学们学习数学、应用数学的积极性，从而激发他们对数学的热爱。正因为如此，它成为了近年高考的一个热点。

热点一、完善列联表

例1 （2021年枣庄模拟卷）如表1所示，2×2列联表中a，b的值分别为（ ）。

热点二、独立性检验的基本思想

例2在独立性检验中，统计量X2有两个临界值：3. 841和6.635。当X2>3. 841时，有95%的把握说明两个事件有关;当X2>6. 635时，有99%的把握说明两个事件相关;当X2<3. 841时，认为两个事件无关。在一项调查某种药是否对心脏病有治疗作用时，共调查了3 000人，经计算得X2=9. 56，根据这一数据分析，认为此药物与心脏病之间（ ）。

A.有95%的把握认为两者相关

B.约有95%的心脏病患者使用药物有作用

C.有99%的把握认为两者相关

D.约有99%的心脏病患者使用药物有作用

分析：根据统计Xz的值与6. 635的关系，判断两个事件间的关系即可。

解：由题知，X2=9. 56>6. 635，说明有99%的把握认为此药物与心脏病之间有关，故选C。

热点三、K2的计算与应用

例3 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表2，参照附表，得到的正确结论是（ ）。

A.有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”

B.有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”

C.在犯错误的概率不超过0. 1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”

D.在犯错误的概率不超过0. 1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”

分析：先根据公式计算K2，再对照参考数据作判断。

所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，或在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A。

点评：本题考查Kz计算及其应用，同时考查同学们的基本分析、判断能力，属基础题。

热点四、独立性检验解决实际问题

例4 （2021年高考全国甲卷理）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表4。

（l）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

分析：本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可求解。

故有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异。

点评：虽然作为解答题，但是本题比较容易，只相当于课本基础题的难度，且这种题型平时训练较多，是送分题。

因为E（x1）>E（x2），所以投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高，但二者相差不大。

因为D（X1）>D（X2），所以投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高，风险要小。

建议投资人工智能项目。

点评：（1）概率统计问题的套路是：①确定任务;②收集数据;③处理数据;④分析数据;⑤应用数据。

（2）对于复杂的概率统计可以遵循套路，將文字和要求进行分解，以有效理解题意。

对于依据数据特征的决策，在问题解决中要思考以下问题：

①常用数字特征有哪些？

②各种数字特征产生的背景（产生在统计活动中的哪个环节）;

③利用哪一个（哪几个）数字特征作决策;

④如何根据数字大小来合理决策。

（责任编辑徐利杰）