陈敏 张启兆

随机变量及其分布是高考考查的重点内容之一，现将随机变量及其分布的重点题型及解题策略总结如下。

1.超几何分布与二项分布

例1 某土特产超市为预估2023年元旦期间游客购买土特产的情况，对2022年元旦期间90位游客的购买情况进行统计，得到人数分布表，如表1所示。

为吸引游客，该超币推出一种优惠方案，购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于600元的频率），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元。若游客甲计划购买800元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列。

解析：“游客购买土特产”可视为独立重复试验，于是联想到二项分布的概率模型。“若游客甲计划购买800元的土特产”，则中奖次数可能为3次、2次、1次、O次，故实际付款数X的可能取值为650，700，750，800。

模型识别：二项分布的三个特征：①任意两个试验相互独立，不互相影响;②每次试验成功的概率是相同的;③每次试验只有两种结果。

易错提醒：由于游客购买土特产的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点。

例2 随着2022年北京冬奥会的举办，冰雪运动在全国各地蓬勃开展。某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据图，如图1。

（l）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校“自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率。

（2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”。

①现在从这10所学校中随机选取3所，记X为其中的“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望。

②为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核。若4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”。已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”，能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由。

解析：（l）设事件A为“从10所学校中选出1所学校，且该校‘自由式滑雪’的参与人数超过40人”。

“自由式滑雪”的参与人数超过40人的

学校共4所，所以P（A）=4/10=2/5。

（2）①X的所有可能取值为0，1，2，3，“单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所。

可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化，理由如下：

P（B）值较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化。

点评：（1）超几何分布是一种重要的分布模型，要深入理解概念：从包含M件次品的N件产品中选取n件，设取到的次品数为X，则X服从超几何分布：

（2）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数;

（3）超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型。

模型识别：超几何分布的特征是：①考查对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布。

易错提醒：概率问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要模型找对，问题便迎刃而解。常见的概率分布模型有：两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布。

2.离散型随机变量的均值、方差与正态分布的结合

例3 2020年8月教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案时每生可以投掷3次，一旦达标无需再投。从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，则该校学生还需加强实心球项目训练。已知该校男生投掷实心球的距离ξ1服从正态分布N（6.9，0.25），女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N（6.2，0.16）（ξ1，ξ2的单位：米）。

（1）请你通过计算，判断该校学生是否还需加强实心球项目训练。

（2）为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的距离ξ2服从正态分布N （6. 516，0. 16），且P（x≤6.832）一0.785。此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达標率能否达到99%，并说明理由。（取3√10的值为2. 15）

分析：（l）根据独立重复试验概率计算公式进行计算，从而作出判断。

（2）通过计算达标率来进行说明。

点评：求解与正态分布有关的问题时，要迅速画出正态曲线（草图），并将对称轴、最高点等已知条件反映到图形上来，根据对称性以获取更多的条件，再给出相应的代数解释，一般即可求解。通过识图与用图来解题，其基本解题程序：数（正态分布）一形（正态曲线）+形（对称性）一数（对获取对形的认识作出代数解释）。

3.均值与方差在决策问题中的应用

例4某财经杂志发起一项调查，旨在预测某国经济前景，随机访问了100位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分10分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观、尚可、乐观）。分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如表4。

假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这100位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性。

（1）该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测该国经济前景为“乐观”的概率。

（2）某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与该国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下表5，正数表示赢利，负数表示亏损。

根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议。

解析：（l）由题意可知100名被采访者中，预测该国经济前景为“乐观”的人数为9+7+4=20（人），概率为0.2。