白玫

[摘要]数学解题方法的教学，要求教师引领学生拓宽思路，发展思维的灵活性，从学生的认知特点出发，寻找解题的便捷路径，从而提高解题效率.文章主要介绍了设元消元这一方法在实际解题中的应用.

[关键词]解题方法;思维灵活;解题效率

解题既是数学学习中的一个重要活动，也是学习的目标之一，如何提高学生的解题能力和解题效率是课堂教学要解决的重要问题.许多学生为了提高解题能力常常深陷题海，但是结果往往不尽如人意，反而对数学学习产生了厌倦，失去了信心.所以教师在教学中不仅要带领学生做题，还要精选典型试题，渗透解题方法，从而培养学生举一反三的能力.很多学生在解题过程中常因已知条件过少、未知条件过多而一筹莫展，所以教师要在教学中让学生寻找一种巧妙的解题方法，如利用已知条件设未知数，实现整体消元或者换元，从而解决问题.这种巧妙的解法可以让试题化繁为简，顺利求解，能增强学生解决难题的信心.笔者结合教学实践对设元消元这一解法进行了总结，现编写成文，供大家参考.

在三角形中解决角度问题

案例1如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，E，F两点在边AB上，且AE=AC，BF=BC，求∠ECF的度数.

解题思路设∠B=x，则∠A=90°-x.因为AE=AC，所以∠AEC=∠ACE.所以

评析本案例已知条件较少，如何构建已知条件与未知条件之间的联系是解题的关键.仅通过观察已知条件与未知条件，很难看出它们之间的联系.但通过设∠B=x，利用三角形的内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等的性质，便可以将题目中的其他角用含x的代数式表示，从而求出∠ECF的度数.上述解法，通过设元，将一个复杂的几何问题转化成了代数问题，并最终将未知数消掉，求得了答案.

案例2如图2所示，点C在线段AE上，点D在线段AB上，BC与DE交于点F.若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，求∠DFC的度数.

解题思路因为CD=CE，所以∠E=∠CDE.因为BD=CD，所以∠B=∠BCD.设∠E=∠CDE=x，∠B=∠BCD=y.因为∠ACD是△CDE的一个外角，所以∠ACD=∠E+∠CDE=2x.同理，∠ADC=∠B+∠BCD=2y.所以∠ACD+∠ADC=2x+2y=114°.所以x+y=57°.所以∠DFC=180°-（x+y）=123°.

评析本案例运用了等腰三角形底角相等的性质，通过设两个辅助元，利用已知条件∠ADC+∠ACD=114°，将问题转化到△DFC中，再利用三角形的内角和求得答案.上述解法也是通过设未知数，将几何问题转化为代数问题来求解，这样求解，思路更清晰，同时渗透了数形结合思想.

在三角形中解决面积问题

案例3已知一个直角三角形的周

评析本案例若根据一般的求三角形面积的方法，需求出三角形的底和高，但是由已知条件难以求出这两个元素.为了求解，可以换一种思路，即不分别求出三角形底和高的长度，而是通过设辅助元，求底和高的积.上述解法同样通过设元，巧妙地将几何问题转化为代数问题，利用勾股定理以及完全平方公式的变形，最后求出三角形的面积.

在几何证明中解决等量关系

案例4如图3所示，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点C作CG⊥BD，垂足为G，∠BAD的平分线与BD交于点F，与GC的延长线交于点E，证明：AC=CE.

评析本案例利用矩形的性质、等腰三角形的性质及角平分线的性质等，得到要求证的两条边AC与CE的对角相等，再利用等角对等边得到AC与CE相等.上述解法通过设∠CAE=x，利用辅助元表示出其他相关的角，避免了角度之间的复杂转换，使求证过程简捷，同时，将几何问题变成简单的代数问题，从而获解.

在反比例函数中解决面积问题

评析本案例先设出点B的坐标，由已知条件“AC的中点为B”求出点A的坐标，进而表示出四边形ABED的面积，最后在计算过程中通过化简得到答案.这样的设元方法在解决反比例函数问题中比较常见.本案例同样采用设元的方法，最后通过消元顺利求解.

在一次函数中解决问题

案例6如图5所示，一次函数y=mx+5m的图像与x轴、y轴分别交于点A

（1）求点B的坐标;

（2）若直线OC上有一点Q，且△QAC的面积是△AOC面积的3倍，求点Q的坐标;

（3）线段OA上有一点D，且∠ACD=∠AOC，x轴的负半轴上存在点P，使得点P到直线CD和直线CO的距离相等，求点P的坐标.

解題思路此处只解析第（3）问.由已知条件“点P到直线CD和直线CO的距离相等”，可得点P在直线CD和直线CO所形成的夹角的平分线上.于是根据点P的位置可画出图5和图6.在图5中，设∠ACD=∠AOC=x，因为∠DCO被CP平分，于是又设∠OCP=∠DCP=y.因为∠CPA是△COP的一个外角，所以∠CPA=x+y.又∠ACP=x+y，所以∠CPA=∠ACP.所以AP=AC.于是可求得点P的坐标.在图6中，设∠ACD=∠AOC=x，∠DCP=y，则可得∠CPA=∠ACP=y-x.所以AP=AC.于是可以求出点P的坐标.

评析本题是一道较为复杂的综合题，由已知条件很难发现等量关系，但是通过设辅助元，便可以将题目中有关的已知条件联系起来，于是发现∠CPA和∠ACP之间的等量关系，从而求出点P的坐标.由此我们看到，设辅助元，能实现直接的等量关系转换，避免了复杂的角度转换，降低了思维的挑战性，且整个解题过程，思路清晰明了.

思考与感悟

1.立足学生的思维角度

学生是学习的主体，教学的中心应围绕学生展开，因此教师在选择试题进行解析时，需要从学生的思维发展角度出发，以学生的发展为立足点，促进每一位学生的个性发展.在学习数学的过程中，许多学生常常被复杂题型所困扰，从学生的思维习惯出发，他们擅长正向思维，能根据已知条件直接构建联系，因此当已知条件不够时，教师可以引导学生设辅助元，直接建立已知条件之间的数量关系，并在逐步化简中轻松获得答案.这既符合学生的认知习惯，也能让学生感受到数学的奇妙，从而激发他们的学习兴趣.

2.巧妙催生课堂意外生成

课堂并不能完全依据教师的预设按部就班地展开，当学生提出意料之外的想法时，教师应进行引导，不能因为他们所提的问题与预设不同就完全否定，否则会扼杀学生的灵感.教学的过程是教师带领学生一起探索的过程，教师要将课堂还给学生，引导他们思考，从而发展思维能力.

文章主要探讨了设元消元方法的部分应用，这一方法可以巧妙转化复杂题型并解决问题，能避免烦琐的求解过程，能发展学生的创新思维.

实际上，数学解题方法多种多样，只要我们认真观察和思考，不被传统思维所束缚，就能发现便捷的解题路径，从而提高学习效率.