●于正军

数学意识是学生在解决实际问题过程中自发形成的数学直观、数学感悟、数学理解等数学思维活动的一种认知自觉和学习动机，是数学思维与学习行为发生的“起跑状态”。因此，在解决问题策略教学中促进学生思维发展与方法感悟，需要引领学生在分析问题、解决问题的过程中不断实现策略意识的唤醒、递升、舒展和建立，继而以策略的认知感知概念意义，以策略的眼光分析数量关系，以策略的思维探索数学方法，以策略的语言建构思维模型，不断促进学生经历解决问题中策略意识与数学方法的思维呼应，从而深度激活学生的思维经验，以滋生策略思维，感悟策略思想方法。笔者以苏教版教材五年级上册“一一列举的策略”一课教学为例，解析解决问题策略教学中学生的意识培养与思维建构，旨在创新与建构解决问题策略教学的课堂结构和应有范式。

一、策略意识的唤醒——思维起跑的姿态

对解决问题策略概念意义的感悟与理解，需要教师从学科核心素养的视角重新审视解决问题策略单元的课题意义。教材所编写的课题意义表征为“解决问题的策略”，并非“策略解决问题”。此课题凸显出来的学科素养指向的教学目标理应是对策略意识及其思想方法的感悟，而非机械运用数学策略解决问题。所以，课堂上教师要有意引领学生对策略认知的思维交流，才能不断转变“应用题”教学的课堂固有范式和创新解决问题策略的课堂教学结构，促进学生对策略认知的意义感知和策略意义的意识感悟，激发学生形成积极探索策略的认知意识和心理需求，激活学生原有的思维经验，继而唤醒学生的策略意识，引发学生思维起跑。

在一线教师的常态课堂上，教师引出例题主题图（见图1），并引导学生用摆一摆、画一画、写一写等学习方法探索出结果后，顺势揭示：像这样一个一个列举出各种可能结果的方法，在数学上就叫做“一一列举的策略”。如此把教材中的数学概念直接讲给学生，忽视了学生对策略认知的直接感知，抑制了学生策略意识的唤醒，阻碍了学生在自主探索过程中意识建立与方法建构的思维呼应，从而导致学生对策略意义无法感知，策略思维无从起步。

图1

因而，在学生经历自主探索后，教师需要及时回归策略视角与儿童认知，引领学生对各自解题方法的思维交流和意识回应。

（1）你们是怎么想到要动手摆一摆、画一画、写一写呢？此时学生在课堂上自言自语：不好列算式解答，也无法直接算出所求问题的结果。

（2）有的人用小棒围长方形，有的人在作业纸上画长方形，而有的人直接写出相应长方形的面积，为什么你们方法不同却都能求出最终的结果呢？课堂上聪明的孩子开始插话：不管是摆一摆、画一画还是写一写，其实大家都是把几种可能的结果依次整理出来。教师顺势补充：是的，虽然大家的操作方法不同，其中的思维方法和数学道理是一样的。

看来大家想到的这些方法对于解决像“王大叔围花圃”这样的实际问题非常方便和适用，也非常巧妙，很具针对性。你们觉得这么好的数学方法应该取一个什么名字呢？教师在学生自由取名字的基础上整理、规范学生的数学表达，继而引出“一一列举策略”的数学概念。学生经过如此对“一一列举策略”的概念进行有意义的建构，自然经历策略意义的形成过程，感知策略的数学意义，体会策略与数学方法的应然联系，学生的思维方能起跑，意识才被唤醒。如此通过学生已有的经验方法促进对策略意识的思维回应，学生的策略思维被及时激活，进一步激发出学生深度触摸和感知“一一列举策略”的概念意义，自然点燃学生探索策略思维方法的数学热情和心理需求。

二、策略意识的递升——思维滋生的方向

数学策略在儿童的思维表征上凸显的是一种基于方法又高于方法的认知视角和思考角度。所以，促进学生策略意识的逐步递升需要教师引领学生以策略的眼光审视数量关系，驱动学生滋生策略思维，探索策略方法，培养策略意识，从而自然避免用常态的数学眼光涉猎已知条件和所求问题，产生出“应用题”教学的解题思维。否则，学生就无法感知这些数量概念中隐含的策略思维元素，而滑入“应用题”教学的课堂模式，偏离了解决问题策略教学主题的应有目标，抑制了学生策略意识与思维的素养培养。

因此，引领学生观察主题图中“22 根”“1 米”“面积最大”等数量概念时，要警惕常态的数学眼光形成的浅表性思维认知阻碍了学生深度思维的脚步。

（1）“22 根”常态眼光表现为：围成长方形的周长是22 米；而策略眼光理应为：22 根栅栏可以围多种不同的长方形。此眼光隐藏的策略意识指向学生的思维感悟：由于可以围成多种不同的长方形，那么究竟有几种呢？必然驱动学生产生要一个一个列举出来的心理欲望和思维冲动，学生“一一列举的策略”意识开始唤醒。

（2）“1 米”常态眼光表现为：用1 米的栅栏去围长方形，围成的长方形的长和宽是整米数；而策略眼光理应为：既然是用1 米的栅栏去围，围成长方形的长和宽一定是可数长度，围成长方形的个数必然是有限的。此眼光隐藏的策略意识指向学生的思维感悟：既然围成这些不同的长方形的个数是有限的，就可以把这些有限的长方形一个一个列举出来，为“一一列举策略”意识的初步建立提供了有限的数学思维方法可能。如果围成长方形的数量是无限的，那么“列举”的数学方法在学生内心深处无法生根发芽，“一一列举的策略”意识也无从起步。

（3）“面积最大”常态眼光表现为：围成长方形的形状尽可能要方一点；而策略眼光理应为：像这样围长方形，如果换成用可以任意弯曲的线或绳子来围，从数学极限思维的角度，所围成的长方形的个数必然是无限的，既然是无限的，不存在“面积最大或最小”的数学概念的可能。此眼光隐藏的策略意识指向学生的思维感悟：像这样用22 根1 米的栅栏围长方形，所指向的数学问题的价值必然是求面积最大或最小，从而使学生感悟到“一一列举策略”所对应的实际问题的已知条件与所求问题之间的必然联系，学生内心深处的思维应然朝向“一一列举策略”方向逐渐滋生。

唯有如此，引领学生以策略的眼光审视例题中的条件与问题之间的数量关系，学生自然会自主感知实际问题中隐藏的策略思维，形成策略意识与数学方法的思维呼应，进一步点燃学生积极探索策略方法的内在需求与积极情感。

三、策略意识的舒展——思维发展的路径

在探索策略方法的过程中，学生的策略意识一旦得以舒展，自然会产生与数学方法的思维呼应，促进认知经验瞬间被激活，驱动学生以解决问题的策略眼光和思维视角分析数量关系，生成策略方法。因此，策略教学需在学生以策略的眼光审视数量关系的基础上，进一步引发学生策略意识的舒展而生发思维路径，触发学生独立想象与深度思维，自主发现数学方法，促进数学感悟和策略思想的自发形成。

如此，在学生审视数量关系的基础上，需及时围绕主题图中“22 根、1 米、面积最大”三个关键数量概念引领学生的策略意识得以进一步舒展，促进学生积极思维，展开想象，自主探索策略方法。

（1）从“22 根”你能想到什么？师：用22 根木条围长方形你们会吗？生齐说：会。师：大家都说会，看来你们心中都已经有了围成的样子，你心中所围成的长方形和其他同学一样吗？生齐说：不一定。师：看来用22 根这样的木条围一个长方形一定不止围一个，是吗？生：是的，可以围好几个。

（2）从“1 米”你又能想到什么？师：22 根1 米长的小棒连接起来一共有多长？生：22 米。师：用这样的小棒围与用22 米长的线或绳子围效果一样吗？生开始迟疑，教师顺势引导学生小组交流。生小组汇报：不一样，用22 根1 米长的小棒围长方形，围成的长方形的长与宽都必须由整根的小棒连接，即长与宽都是整米数，所以这样围成的长方形的个数是有限的。而用22 米长的线或绳子围长方形，围成的长方形的长与宽的长度可能是整数，也可能是一个无限小数，这样围成的长方形有无数个。

（3）从“面积最大”你还想到了什么？师：刚才大家说用22 根1 米长的小棒去围长方形能围好几种，说明围成的这几种长方形的大小、形状可能不一样，是什么一样什么不一样呢？生：周长一样，面积不一样。师：是的，看来围成几种长方形，就会有几种不同的面积，说明这些面积有大有小。

通过如此伴随策略意识的思维数量关系分析，学生从“想22 根”自然经历围成多种长方形的思维路径，从“想1 米”自然经历围成多种长方形的个数是有限的思维路径，从“想面积最大”自然经历围多种长方形就会产生多种大小不同面积的思维路径，从而使学生的思维自发经历“长方形数量多且有限”“多种长方形即多种大小不同面积”的策略特点的形成过程，并自主感悟“求面积最大”是此类题型特征所彰显出来的数学应用价值和策略方法的思维方向，有效助推学生逐步建构“一一列举策略”的思维特征，内心自然产生“一一列举策略”的数学方法的认知需求，促进学生深刻体验和感悟“一一列举策略”的思想方法在解决实际问题中的应有价值和应然作用。

四、策略意识的建立——思维建模的内驱

学生在解决实际问题的过程中，其策略意识的真正建立标志着学生的数学认知与知识结构已经形成数学方法上的思维呼应。即不同实际问题的知识结构特征在学生脑海里自然产生相应策略思维的条件反应，从而驱动学生主动建构解决问题的思维图式，并以策略的语言建构解决问题的数学方法思维模型，形成解决问题策略思想的数学感悟。

因而，在引领学生经历探索策略的数学活动后，不能机械套用教材中回顾反思的提示语（见图2）要求学生直接交流列举方法的体会和感受。如此照搬教材中的提示语引导学生进行回顾反思，不能促进学生主动培养策略意识以及形成主动探索策略的主观愿望，缺失了对实际问题数量关系结构的整理与概括，阻碍了学生对“一一列举策略”的数学方法与实际问题的知识结构特征的思维呼应以及策略思维模型的自主建构。由此，需要及时激发学生对策略的数学意义和形成过程进行回顾与反思，助推学生基于实际问题的知识结构特点的认知自行进行策略方法的数学建模，完善学生对具体实际问题、数量关系、结构特点的分析与概括，形成“一一列举策略”意识的条件反应和数学方法的思维建构，继而激活学生的“一一列举策略”思维，生成解决实际问题“专业”的数学方法的思维模型。

图2

故而，策略意识的建立是解决问题策略教学的灵魂，是学生探索策略方法、形成策略技能的数学认知基础和思维方法前提。教学时，理应从策略方法的思维建模角度加以启迪。

（1）本节课所解决的实际问题有什么特点？引导学生交流得出此类题型实际问题的结果有多种可能，需要在多种可能中寻找所求答案。

（2）在以前的学习中，哪些知识也具备这样的结构特点？课堂上引导学生说出诸如：数的组成、找一个数的因数、由几个数字组成的所有几位数……学生如此重拾知识记忆与数学语言表达的过程，既是对数学列举方法及其对应思维关系的结构特征整理与建构的过程，更是对“一一列举策略”思维方法进行语言概括和自主建模的过程。如此回顾与反思，方能顺应学生的学习需求和思维现实。因为学生在经历探寻关键数量和关键问题的过程中，必然会了解观察和解析实际问题的基本结构，产生思维上的认识、判断和甄别，促使学生的认知思维经历从“结构特征”到“策略方法”自然生长与建模的过程，是题型特征所凸显的一种数学方法必然和儿童心理认知的思维应然。同时，便于促进策略意识与数学方法的“思维观照”，形成解决问题策略过程中学生数学思维的“上下呼应”，凸显解决问题策略教学的“策略味”，弱化课堂教学的“应用味”，增强学生积极的探索精神和数学感悟能力。

综上所述，在小学阶段，策略的数学意义，留在儿童脑海里的认知特征表征为思维方法的“一一对应性”，直观地表达为：有针对性的数学方法。如此的思维与方法的对应性和针对性促使学生的数学思考始终行走在“策略”与“解决问题”之间。因此，策略的教学唯有引领学生自主形成策略的意识，学生才能自发探索策略的方法，并自行运用策略的语言概括策略思维的数学方法模型，促使学生在解决问题的过程中既掌握实际问题结构的具体特征，又养成有针对性地选择策略的数学意识和思维习惯，从而自然实现从为什么要列举到怎样列举的“思维呼应”，实现学生对策略思想方法的深切感悟和深度理解。