张文昌, 陈永浩, 耿安然, 查文舒, 杜 鑫

(1.中国石化中原油田分公司,河南 濮阳 457001; 2.合肥工业大学 数学学院,安徽 合肥 230601; 3.中国科学技术大学 工程科学学院,安徽 合肥 230027)

碳酸盐岩缝洞型油藏储量大、产量高,已经成为国内外油气藏研究的重点,缝洞型油藏试井分析受到重视。该类油藏的埋藏深度大,影响储层发育的因素较多,且非均质性极强,储集体空间在分布上也不连续,储层中裂缝是主要的流动通道,而流体又主要储集在溶洞中[1-5]。裂缝将各个溶洞连通,而由于溶蚀作用对裂缝的进一步改造,储层中的缝洞很难严格区别,这也导致缝洞型油藏中多种流动形式共存,流动形式十分复杂。碳酸盐岩油藏与常规砂岩油藏有很大的区别,主要体现在孔隙结构、地层均质性等方面。国内外针对该类油藏在长时压力试井分析解释技术方面尚无相应的理论方法,目前还没有一套适合含大尺度溶洞的缝洞型油藏试井解释理论。

为了研究缝洞型油藏井底压力变化的特点和趋势,研究人员提出了大量的试井模型,多重介质理论是模拟缝洞型油藏中流动的最常见试井模型[6-7]。多重介质理论是在文献 [8]提出的双重介质模型基础上建立的,该理论将缝洞型油藏中的裂缝、溶洞及基质视作不同的介质,考虑不同介质之间的窜流作用[9-13]。

基于三重介质理论,文献 [14]提出当井筒与裂缝相连通时的试井模型,分析地层参数和边界条件对井底压力的动态影响;文献 [15]利用三重介质理论，研究缝洞型油藏流体流动和传输过程的模型;文献 [16]基于文献 [17]提出的缝洞型油藏井底压力解析解，研究三重介质模型的井底压力动态响应特征,根据井底压力解得到井底压力及其导数双对数曲线,并对各个参数进行敏感性分析;文献 [18]在三重介质的基础上研究有限导流垂直裂缝井的井底压力动态特征;文献 [19]针对缝洞型油藏中的单相流和多相流问题,采用数值模拟的方法研究多重介质模型的适用性;文献 [20]研究了缝洞型油藏水平井中的流动问题。

上述模型及方法只适用于包含小溶洞的缝洞型油藏。我国西北地区发现的缝洞型油藏地层中分布着大小不一的溶洞,溶洞半径在几米到几十米之间,且埋藏深度超过6 000 m。采用已有相关模型解释这种缝洞型油藏时所得参数结果有很大偏差,并且无法得到一些关键参数,如溶洞体积等,因此需要提出一种新的模型。

本文建立一种适用于缝洞型油藏的新的试井模型,实际应用证明,采用该模型进行试井分析更符合缝洞型油藏生产实际,解释结果与实际地质数据也较为吻合。

1 数学物理模型

1.1 假设

(1) 储层各向同性,为圆柱形;油井位于圆心处,按定产量生产。

(2) 流体和岩石是微可压缩的,压缩系数为常数;流体为单相,流速很小。

(3) 外部地层为双重介质,包含基质和裂缝。

(4) 油井测试前地层中各点的压力均匀。

(5) 溶洞为圆柱,并且与井筒同心,仅考虑竖直方向的流动。

1.2 物理模型

简化的物理模型如图1所示。

图1 物理模型示意图

图1中:与井筒及溶洞相沟通的地层为均匀介质且地层厚度分别为h1、h2;井筒和溶洞半径分别为rw、rv;介质的渗透率为k,孔隙度为φ,压缩系数为CT。

下面将该模型分为内区和外区,并分别建立控制方程。

1.3 数学模型建立与求解

1.3.1 内区控制方程

流体在井筒、溶洞中流动必须满足的连续性方程、动量守恒和能量守恒方程为:

(1)

(2)

(3)

其中:ρ为流体密度;v为流体流动速度;x轴为由井筒圆心向上建立的一维坐标轴;p为压力;g为重力加速度;f为流体受到的摩擦阻力系数;D为井筒的直径;pwf、pv分别为井筒和溶洞中的压力;vwf为井筒和溶洞连接处流体的速度。

流体微元示意图如图2所示。

图2 流体微元示意图

取图2中的流体微元,并建立质量守恒方程,即

(4)

其中:A为微元截面面积;δx为微元高度。

流体的压缩性定义为:

(5)

其中,K为流体的体积模量。而井筒直径D的变化dD与其受到的压力变化dp之间的关系为:

(6)

其中:E为井筒杨氏模量;e为井筒厚度。井筒微元截面面积计算公式为:

(7)

联合(5)式、(6)式,则(4)式可变为:

(8)

定义c为管道及流体系统中的波速,并且有:

(9)

利用全导数公式,(8)式可变为:

(10)

由(10)式可知,压力在x方向的传导是以波的形式进行的,波速为c。

联立连续性方程(1)式和动量守恒方程(2)式,并忽略方程中的重力项和流体摩擦力项,同时引入溶洞的存储常数Cv,可以得到如下方程:

(11)

则溶洞中的流体流速为:

(12)

其中,v0为初始时刻的速度,可由地面产量确定。则流体流入井筒处的速度vwf为:

(13)

根据井筒及溶洞处的能量守恒方程,有

(14)

1.3.2 外区控制方程

对于外部地层,考虑为双重介质,其控制方程为:

(15)

(16)

其中:σ为形状系数;km为基质渗透率;kf为裂缝渗透率;φf为裂缝孔隙度;φm为基质孔隙度;μ为流体黏度;Cf为裂缝岩石压缩系数;Cm为基质岩石压缩系数。

通过定义井筒及溶洞的表皮,可以将裂缝的压力pf与井底压力pwf和溶洞的压力pv联系起来,即

(17)

(18)

其中:sw为井筒表皮系数;sv为溶洞表皮系数。

根据井筒、溶洞储存常数及定产量,井筒内边界条件可表示为:

(19)

其中:B为地层体积系数;Q为流量;Cw为井筒存储常数。

初始条件为:

p(t=0,r)=p0

(20)

其中,p0为原始地层压力。

1.3.3 数学模型无因次化及求解

无量纲压力pjD为:

无量纲半径rD、时间tD分别为:

无量纲高度hD为:

无量纲井筒存储常数CwD为:

无量纲溶洞存储常数CvD为:

储容比ω、裂缝-基质窜流系数λ分别为:

波动系数γ、阻尼系数β分别为:

内、外区控制方程(14)～(19)式无因次化如下:

pwfD=pvD-βtDexp(-γtD)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

上述方程中,(21)式为无量纲内区控制方程,(22)式、(23)式为无量纲外区控制方程,(24)式、(25)式为无量纲井筒和溶洞表皮方程,(26)式为内边界条件。

(21)～(26)式Laplace变换后如下:

(27)

其中,u为Laplace变量。

其中:I0为第一类零阶修正的柱贝塞尔函数;K0为第二类零阶修正的柱贝塞尔函数。

令

M1=m0I1(m0)，M2=-m0K1(m0)，

M3=m0I1(m0rvD),M4=-m0K1(m0rvD),

M5=I0(m0)-m0I1(m0),

M6=K0(m0)+m0K1(m0)，

M7=I0(m0rvD)-m0I1(m0rvD),

M8=K0(m0rvD)+m0K1(m0rvD);

N1=uCwDM5-hDM1,

N2=uCwDM6-hDM2,

N3=uCwDM7-(1-hD)M3,

N4=uCwDM8-(1-hD)M4。

则有:

其中:I1为第一类一阶修正的柱贝塞尔函数;K1为第二类一阶修正的柱贝塞尔函数。

1.3.4 溶洞参数求解

通过将理论曲线和实测曲线进行拟合,可以得到地层渗透率k、波动系数γ、阻尼系数β等参数。通过γ可以反演出溶洞的半径,即

(28)

通过β可以反演出溶洞高度,即

(29)

则溶洞体积V的计算公式为:

(30)

2 双对数曲线渗流阶段及敏感性分析

当ω=0.01、λ=0.001、β=0.01、γ=80时,本文模型无限大地层缝洞型油藏双对数曲线如图3所示。

从图3可以看出,油藏的流动可分为Ⅰ～Ⅴ 5个区段。Ⅰ区为早期流动段,此时压力及压力导数的斜率为1,这是井筒存储段的典型特征;Ⅱ区为井筒存储向洞存储的过渡段,随着流体的采出,井筒存储逐渐向溶洞存储过渡,由于溶洞与井筒间流动通道突然变小,从而产生一个压力变化,压力下降;Ⅲ区为洞存储段,此时导数曲线的斜率也为1,这是溶洞存储效应导致的,随着流体不断采出,地层中的流体开始向溶洞补充流量,表皮效应开始显现;Ⅳ区为窜流段,此时基质中的流体和裂缝中的流体之间发生窜流效应,导致压力下降,然后压力逐渐恢复平稳,故压力导数曲线先下降后上升;Ⅴ区为地层渗流段,溶洞存储结束后,渗流作用占主导,压力及压力导数逐渐向径向流过渡,当流动呈径向流后,压力导数曲线为一条水平线段。

图3 井底压力与压力导数双对数曲线

为了更好地将本文模型应用于实际,下面针对各个控制参数进行敏感性分析。

(1)β的影响。当ω=0.01、λ=0.001、γ=80,β分别取不同值时,压力及压力导数双对数曲线如图4所示。从图4可以看出,β主要影响曲线的过渡段和溶洞存储段,β越大,这2个区段出现的时间越晚。

图4 β取不同值时井底压力与压力导数双对数曲线

(2)γ的影响。当ω=0.01、λ=0.001、β=0.01,γ分别取不同值时,压力及其导数双对数曲线如图5所示。从图5可以看出,γ主要影响曲线的井筒存储段和过渡段,γ越大,这2个区段出现的时间越早。

图5 γ取不同值时井底压力与压力导数双对数曲线

(3)ω的影响。当λ=0.001、β=0.01、γ=80,ω分别取不同值时,压力及其导数双对数曲线如图6所示。从图6可以看出,ω主要影响曲线的Ⅳ区,ω越大,第2个凹槽越深越宽。

图6 ω取不同值时井底压力与压力导数双对数曲线

(4)λ的影响。当ω=0.01、β=0.01、γ=80,λ分别取不同值时,压力及其导数双对数曲线如图7所示。

从图7可以看出,λ主要影响曲线的Ⅳ区,ω越大,第2个凹槽出现越早且越浅。

图7 λ取不同值时井底压力与压力导数双对数曲线

3 实例分析

以我国西部某油田的1口井为例,该井井深为3 968 m,井筒半径为0.107 5 m,原油黏度为0.223 mPa·s,地层体积系数为1.1,总压缩系数为0.004 683 MPa-1,取孔隙度为0.1。该井在生产初期进行了关井压力恢复测试,目前一些商业试井软件仅能根据压力恢复数据得到渗透率等地层参数,而这些参数值与现有的地质模型拟合数据并不吻合。采用本文模型对该井的实测数据进行解释,最终拟合结果如图8、图9所示。从图8、图9可以看出,本文模型的理论曲线与实测数据拟合良好。根据拟合结果,即可得到参数解释结果,其中井筒存储常数为0.81 m3/MPa,溶洞体积为117 261 m3,井筒表皮系数为-1.974,储容比为0.5,窜流系数为2.67×10-6,波动系数为79.52,阻尼系数为4.36×10-4。

图8 实例井井底压力和压力导数实测与理论值双对数曲线

图9 实例井井底压力实测与理论值随时间变化曲线

4 结论

本文建立一个可用于解释含大尺度溶洞的缝洞型油藏试井模型,该模型可以得到地层中大尺度溶洞的体积等参数。主要结论如下:

(1) 首先建立井筒与大溶洞之间的压力差表达式,将其作为内部控制方程;再将外地层简化为双重介质,引入渗流方程作为外部控制方程;然后将内、外部控制方程相结合并给定边界条件,通过Laplace变换可以得到井底压力解。

(2) 根据井底压力解可以画出典型曲线,流体在该类油藏中的流动可分为5个流动段;对各个参数进行敏感性分析,结果表明,阻尼系数主要影响压力及压力导数曲线的过渡段和溶洞存储段,波动系数主要影响该曲线的井筒存储段和过渡段,储容比和窜流系数主要影响该曲线的窜流段。

(3) 以1口实例井为例,展示了本文模型的具体应用。该模型曲线与实测数据拟合效果较好,且解释结果与实际地质数据也较为吻合。