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整体意义关联的教学理解与设计

2022-06-30梅娅

教学月刊·小学数学 2022年6期
关键词:主题教学

梅娅

【摘   要】在“小数的意义”教学中,教师往往过多关注有限小数是十进分数的另一种表现形式需要,而忽略小数的意义的另一个需要,即对十进制计数法的扩展完善。对此,可尝试从意义网络整体建构、学生认知以及课堂主题式材料架构的需求出发,以计数单位的一脉相承为主线,把小数的意义放置于十进制数系中,从而实现小数意义的整体建构。

【关键词】数概念教学;小数的意义;计数单位;主题教学

“小数的意义”在小学阶段的教学中有着非常重要的地位和作用。本文从小数意义的本源性出发,一方面通过分析小数与整数、小数与分数的关系,理解小数的本质含义;另一方面通过解读学生的困难点,分析小数教学后的后测反馈,设计适合知识意义生长和学生认知需求的教学。

一、整体建构意义的需要

(一)小数意义知识建构的需要

1.小数依分数而来

有限小数是由“十等分”分割产生的。百分之一的分量可从十分之一的分量再十等分产生,而千分之一的分量可从百分之一的分量再十等分产生……因此,十等分的活动可任意无限制继续下去。无限被分割的观念正可用来说明小数稠密性的性质,也就是说任意两个小数之间有无限多个小数存在。[1]为此,我们不难发现,计数单位是构造小数数位可迁移的关键点。如果把抽象的计数单位构造,放置在分数和整数十进制的大背景下,借助数线模型或面积模型,就能很好地沟通十进分数与小数之间的联系。

2.小数顺整数而行

学习小数来自两种需要:一是分数书写形式优化改进的需要,二是十进制计数法扩展完善的需要。无论是从数系发展的角度,还是从生活需要的角度而言,小数与整数的关系都是密不可分的。

通过将整数计数单位个、十、百、千……与小数相邻计数单位之间的关系进行对比,可以将小数系与自然数系的结构进行关联(如图1)。在建构小数系的同时,将其自然纳入以十进制为核心概念的数系知识结构体系中,与自然数系共同形成更大的具有内在逻辑联系的学科整体知识结构。[2]在数系概念域中理解小数,我们可以看到,小数虽产生在分数的家族中,却是整数家族的宠儿;小数既是十进分数的一种表达形式,又是按整数家族的方式计数、排列数序和运算的。

(二)小数意义结构化的需要

小数依从十进分数而来,教师通常在小数意义教学时让十进分数“孤立”出现,没有在整数、小数、分数之间很好地建立逻辑关系。教师如何在教学中处理好小数意义的关系连接?将小数意义进行整体建构,与学生已有的认知结构中的整数、分数建立联系,是小数意义纳入知识体系的关键。

1.正视十进分数的距离感和孤立感

从分数到小数,学生在学习中觉得是抽象和困难的,因为对分数的认识基于初步认识。学生首先要理解1/1000,接着才能理解0.001米。但在初步认识分数时,一般仅停留在分母是一位数的认识上,很少涉及分母是两位或三位数的分数。

在引出十进分数时,通常会采用数形结合的方式,如涂一涂格子图,得到1/10就是0.1,1/100就是0.01,但1/10与1/100有怎样的关系,1/100与1/1000又有怎样的关系,这是一些学生的认知“断层”。

后续体会10个0.001是0.01等十进关系是勉强也很孤立的。从表面上看,让学生通过十进分数理解小数的十进关系是可行的,但在实践中,学生对分数的十进关系是陌生和模糊的,迁移到对小数十进计数单位的理解是困难的。

2.正视小数后续学习的割裂化和无助感

从对后续练习以及教师教学小数性质、小数的近似数等的分析来看,在小数意义的教学中,如果只是单一地从十进分数出发建立小数意义,仅仅停留在分数的“部分与整体”的关系上,则在后续学习中,就会有很大的割裂感和无助感。因为小数性质、小数近似数以及小数加减法等,教学的基础是小数的十进位值制。这就需要教师在小数意义的教学中,融入整数的十进关系,迁移整数十进关系与小数十进计数单位之间的关联,沟通十进分数、小數和整数之间的关系,在教学中实现意义网络化建构,促进概念的迁移和内化。

二、有序完善概念认知的需要

小数的形成有两个不可或缺的前提:一是分数概念的完善,二是十进制计数法的使用。在教学实践中,教师往往过多地关注有限小数就是十进分数的另一种表现形式,突出分数“部分与整体”的关系,而忽略了小数同时也是整数十进制计数法扩展的需要。如何帮助学生将小数意义纳入原有认知结构中,理解内涵并构建新的认知结构呢?

(一)概念有序抽象建模的需要

在初步认识小数阶段,可结合学生的生活情境,以购物(元、角、分)、长度单位(米、分米、厘米)等一些十进关系的单位为载体,让学生借助已有的生活经验,感知十分之一和0.1的关系,从而建立十分之几和一位小数之间的联系。

这需要教师适时地将具体的情境进行抽象化、符号化,在已有一位小数的具体认知基础上,建立小数的模型,特别是两位小数的模型建构。

(二)认知渐进抽象完善的需要

学生的认知过程是不断发展、完善的过程。从具体操作到图式的表征,从形的表征到抽象数的对应,这是基于学生认知的概念学习过程。

人教版教材四年级下册“小数的意义”课后练习中设置了让学生说说小数的含义的题目(第38页第9题)。在对学生的后测反馈中,我们发现,对于小数的意义不仅可以借助具体量感从正反两方面来理解,还可以借助各种图形或者算式,从分数“部分与整体”的关系来描述(如图2)。

小数意义的建构,需要通过抽象渐进式和表征多元化进行。多元表征下的意义理解,是建立在对计数单位的逐个计数和整体构建的基础上的。因为“数(shù)源于数(shǔ),量(liàng)源于量(liáng)”。数概念的教学,包括整数、小数和分数,都可以看作是计数单位累计叠加而来的。数数,是学生自主意义建构的前提。

三、主题呈现课堂探究式材料的需要

对于教学数学概念课,教师要给学生提供对数学模型反复认识、深化理解的机会,并使之具有潜在的可迁移性。主题式的教学素材,通过同类素材的变化整合,凸显概念原型和内涵,有利于概念之间的比较辨析、沟通联系,也有利于举一反三、拓展延伸。在小数的意义的教学中,可充分利用数线模型和面积模型作为课堂主题式材料,在比较中连接整数、联系分数,在迁移中发现、创造小数,在抽象中完善有理数十进制位值制。

(一)借助数线模型,在猜数中沟通比较联系

【教学片段1】猜猜我是谁?

师:我们来玩猜数游戏。猜一猜,这个方框中的数可能会是几?你是怎么想的?

生:我猜是30,只要将0~100平均分成10份,100的1/10是10,10是100的1/10。每一份是10,这里大约有3个10,是30。(如图3)

师:如果变成0~10。猜一猜,这个方框中的数要填几?你是怎么想的?(如图4)

生:是3,现在将0~10平均分成10份,10的1/10是1,1是10的1/10。每一份是1,3个1就是3。

师:这是以“1”为计数单位。想一想,1与100有怎样的关系呢?

生:1是100的1/100,100的1/100是1。

师:那么0~1之间还有数吗?如果有,这个数会是几呢?(如图5)

生:有,把0~1平均分成10份,每1份是0.1,3个0.1就是0.3。

师:这1份是0.1,是怎么来的?这0.3又是怎么回事呢?同伴讨论。

(讨论反馈:1的1/10是0.1,0.1是1的1/10。3个1/10是3/10,也就是0.3。也可以说是3个0.1是0.3)

为什么都是平均分成10份,得到的3份却是不同的数呢?因为计数单位不同。随着区间不断缩小,当无法精确表示时,需要用更小的计数单位去度量,从而产生小数。在理解小数的意义后可迁移到三位小数、四位小数……

(二)借助多元表征,在数数中促进自主迁移

数的产生是因需要不断扩展而来的,小数概念的形成既是满足现实世界的数量表达的需要,又是数学本身发展的需要。如何在小数意义的教学中,改变原有的教学方式,在数数中数出新的小数呢?

【教学片段2】依次叠加,数出1.2

师:3个0.1是0.3,如果继续数,你还能数出哪些数?

生:4个0.1是0.4……9个0.1是0.9,10个0.1是1。

生:10个0.1是1.0。

生:1.0和1的大小是一样的,都在那个点上。(指数线上的点,如图6)

师:那1后面的方框里会是什么数呢?要有理由说明你的想法是正确的。

生:12个0.1是1.2。

生:0.1+0.1+……+0.1=1.2,12个0.1。

生:1+0.2=1.2。

生:我可以以0.1为计数单位,一个一个往后数,1后面是1.1,1.1后面是1.2。

师:通过刚才的数数,你发现了什么?

生:几个0.1就是几点几。

生:1.2用分数表示是12/10,也可以是数出来的!

师:0.1就是1/10,几个0.1相加得到的都是一位小数。

有限小数是十进分数的表现形式,每相邻两个计数单位之间都是十进关系。通过数线模型上的数数,进一步理解一位小数与0.1、1/10之间的关系。数线的均分和扩充,在数数中对应了小数的扩展,突破了只有纯小数的思维定式,在数线模型上形象化地将小数意义与假分数意义进行对应。学生在教学片段2中对1.2的表征是多元的,有乘法意义上的表征、加法算式的表征,还有小数意义文字化的表征,不同的表征都是基于计数单位的数数。

(三)改變学习方式,在表达中激发认知需求

如果说数线模型能满足小数的均分和扩展,那么面积模型则更好地满足形象化的视觉支持。

【教学片段3】精确刻画,画出0.83

变换不同的模型。从1.2数起,按每份0.1依次从大到小减少,当减少到比0.8多比0.9少的时候,就产生了对两位小数的认知扩展需求(如图7)。

师:用什么数表示图上阴影部分比较合适呢?

生:要分一分才知道这是个什么数。

师:怎么才能分出一个合适的数呢?请你试着分一分,画一画。

(学生独立思考,动手操作,全班交流反馈)

生:将0.1平均分成10份,0.1的1/10是0.01,0.01是0.1的1/10,每份是0.01,3个0.01就是0.03。比0.8多了0.03,0.8+0.03=0.83,就是0.83。

生:8个0.1加3个0.01等于0.83。(如图8)

生:将1平均分成100份,1的1/100是0.01,0.01是1的1/100。每份就是1/100,也就是0.01,83个0.01就是0.83。(如图9)

在数数中产生认知冲突,感知当一位小数不能精确表达时,继续十进均分。借助面积、数轴模型十等分再十等分,学生不断感受细分的过程,逐渐体会到两位小数是两个一位小数之间的十进等分,从而将整数“1”的十进均分得到一位小数,迁移到将一位小数“0.1”十进均分得到两位小数,借助面积图,沟通整数与两位小数、一位小数与两位小数之间的本质联系,迁移联想三位小数和无限小数的十进均分。在分一分、画一画、说一说、数一数等活动中,发现小数产生的本质需求,体验具体到抽象的理解过程,从而刻画和理解小数的稠密性。在这样的学习活动中,学生对于整数、分数自然地进行了联系沟通。[3]

(四)双向充分沟通,扩充整个有理数数系

在课后总结回顾时,从“1”出发,不断地均分10份,产生0.1、0.01、0.001……帮助学生建立小数部分相应的数概念体系。但这样的认知是孤立的。教师还可以让学生反过来:从“0.001”出发,10个0.001是0.01、10个0.01是0.1、10个0.1是1、10个1是10、10个10是100……进一步感知不管是整数部分,还是小数部分,每相邻两个计数单位之间的进率都是十,从整数数系扩充至有理数数系,从而对后续小数的进一步探究积累认知经验。

概念的学习,其最终目的不是为了记住定义,而是要理解概念的本质。不同的认知过程会形成不同的理解水平,若是单纯教学定义,其认知过程主要是模仿、记忆、强化,只能达成“工具性理解”;若突出数学知识之间的本质联系,其认知过程则重在经历、感知、体验,就会形成“关系性理解” [4]。 在学生的数学认知结构中,各种数学知识不是孤立存在的,而是有着紧密联系的网络结构,这样的知识网络的构建,有利于学生将新知纳入到原有认知结构中,并形成自己的知识体系。

参考文献:

[1]鲍建生,周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海:上海教育出版社,2009.

[2]席爱勇,吴玉国.指向数学素养生长的三维结构化加工[J].教学与管理,2019(2).

[3]张伟明.数(shù)源于数(shǔ),意义始于表征:基于前测定位下“小数的意义”一课教学思考[J].教学月刊·小学版(数学),2019(3).

[4]张优幼.指向认知结构生长的大单元教学[J].教学与管理,2019(9).

(浙江省台州市椒江区人民小学   318000)

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