骆意

【摘要】新中考实施后，中考数学试题呈现出基础性、新颖性、创新性并重的局面，相当一部分学生对此类题目常常感到束手无策。在此背景下，应当有效地培养学生的数学建模思想，提高学生在具体情境中综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

【关键词】初中数学;新中考;建模思想;课例

2020年起，广东省初中学业水平考试实行全省统一命题、统一试卷、统一考试时间。按照《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》（教基〔2019〕15号）要求，各学科命题均以《义务教育课程标准（2011年版）》为依据，体现课程改革的理念与要求，减少单纯记忆、机械训练性质的内容，突出对学科主干知识和学科素养的考查，增强与学生生活、社会实践的联系，注重考查学生在具体情境中综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，引导发展素质教育。

中考数学试题呈现出基础性、新颖性、创新性并重的局面，而我们的一部分学生对此类题目常常感到束手无策。

新中考背景下，如何有效地提高学生在具体情境中综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力呢？笔者认为，应有效地培养学生的数学建模思想。数学课程标准指出：数学学习的最重要成果就是学会建立数学模型，用以解决实际问题。培养学生的建模思想，让学生经历建模和解模过程，有助于提高学生数学建模、抽象思维等核心素养，培养学生良好的思维品质。

什么是数学建模思想？就是把现实生活中的问题抽象，抓住问题的本质特征，用数学符号表示出来，它反映的是同类问题的共同特征，求出模型的解后，需要回归到具体的问题中，验证解的合理性，它包含数学建模和模型思想两个方面：一是数学建模：数学符号、数学公式及数量关系对现实问题原型简化的本质描述。

二是模型思想：是学生遇到问题，通过分析，理清其中的各种关系，提出关键信息之间的内在联系，进而建立这些信息之间的联系，运用数学的语言、符号进而抽象，概括出问题的本质过程，这个本质具有同类问题的共同特征，就是数学模型，对这个模型求解，获得问题的解，最后回归到问题，验证解的合理性，体现了一个完整的思维过程。

一、课例分析

题目：（2020·广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E為MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2。在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______。

这是新中考背景下2020年广东省中考第17题填空压轴题，题目创设了一个“猫捉老鼠”的新颖情境，抽象出数学问题，即求线段的最小值问题。考查的核心知识点是圆的定义和圆外一点与圆上一点的最值问题，但绝大部分的学生束手无策，不知从何入手，得分十分不理想。

首先，综合分析学生的解题障碍，主要是：（1）无法识别点E的运动路径是一段圆弧，本质上是对圆的动态的定义不熟悉。（2）缺乏处理圆外一点与圆上一点最值问题的解决方法。

基于以上分析，笔者做了以下教学设计：

1.立足教材，提出问题：立足教材习题，引出动点路径问题。

2.多个角度，深化概念：用动点的观点认识圆的概念及外延，构造模型。

3.理解模型，初步应用：理解并简单运用模型。

4.强化作图，化归方法：通过作图和思考，突破圆外一点到圆上一点距离最值问题解题方法。

5.综合运用，拓展提升：聚焦中考真题，解决生活情境中“动点最值”问题，提升解题能力。

6.变式教学，迁移应用：能用此类题型的解题思路、步骤去解决不同情境中的问题。

7.课堂小结，内化提升：动点观念下初中数学概念的整理。（圆、中垂线、角平分线）

二、教学过程

环节一：立足教材，提出问题

情景引入（九年级下册课本第100页“想一想”）：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长为3m的绳子，绳子的另一端栓着一只狗。

问题1：假如绳子始终是紧绷的，那么这只狗绕着这根柱子跑一周所经过的路径是多长？为什么？

问题2：假如绳子不是始终紧绷着的，你还能计算路径长吗？

思考：如果我们将柱子看作一个定点B，这只狗看作是一个动点E，则绳子为线段BE，如果BE的长度固定，那么动点E的运动路径有何特点？

环节二：多个角度，深化概念

从动点的角度去理解圆的概念，深化对圆的定义的认识。

构造模型

模型特征（条件）：________________

模型结论：________________________

环节三：理解模型，初步应用

如图，有一架竖直靠在直角墙面的梯子，点E是它的中点。

（1）当梯子固定不动时，BE的长和梯子MN有何关系？

（2）当梯子下滑时，梯子长度MN保持不变，点E会动吗？如果会，运动路径是什么？

解题反思：____________________________。

环节四：强化作图，化归方法

如图，假如点D处有一只猫，它是静止不动的。

（1）这只狗跑到什么位置时，猫和狗的距离最短？请画出这个位置，并说出你的理由。

（2）这只狗跑到什么位置时，猫和狗的距离最长？请画出这个位置，并说出你的理由。

解题反思：三点共线，将动点到定点的距离最值问题，化归为点心距问题。

环节五：综合应用，拓展提升

（2020·广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉。把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2。在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为______。

解题反思：“定点定长模型”初步解题步骤：1.找动点→2.判路径→3.现圆形→4.点共线→5.构直角三角形。

环节六：变式教学，迁移提高

（折叠生圆问题）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，MC=2，E是CD上一动点，将△MCE沿ME翻折得到△MFE.

（1）则AF的最小值为____________.

环节七：课堂小结，内化提升

1.本节课你学到了哪些知识和思想方法？你还有哪些困惑？

2.你认为还有哪些概念可以从动点的角度去认识？

通过这样的教学设计和课程，一个较难的问题得到了很好的解决，课后再总结反思。

三、新中考背景下培养学生数学建模思想的策略

1.立足教材，创设情境的策略

按照新中考的要求，中考命题要增强与学生生活、社会实践的联系，注重考查学生在具体情境中综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。因此，我们的教学不能“急功近利”地脱离情境直奔知识点去，而应当创设恰当的情境让知识合理地“发生”和“生长”。教材中有很多很好的素材可供我们选取，立足教材，依标靠本，根据教学内容，合理创设情境，加强新舊知识的联系，发掘新知识的生长点，这是第一步。

2.把问题想在前面的策略

教师施教前，应当充分了解学情，并根据学情把问题想在前面：学生可能存在的解题障碍是什么？如何突破？需要如何引导？启发？如何搭台阶？如何进行教学设计？只有把问题想充分了，才能把教学设计做细做好，才能让我们的课堂充满思维的火花。

3.问题串施教的策略

新中考注重考查学生在具体情境中综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，所以，培养学生的建模思想，我们的课堂不能没有问题。问题串教学策略是一个很好的方法。数学课堂的教学，就应该在分析问题和解决问题中引导学生层层生疑，在析疑和释疑中不断发展学生分析问题、解决问题的能力，提升学生数学思维的品质。我们在教学的时候，要根据所选择的题目，设置问题串，帮助学生去解决问题，一方面降低题目的难度，也容易消化所学的知识，另一方面，降低学习难度，将数学方法融入其中，于无声处培养学生思维。

4.及时地归纳，反思，建构的策略

问题求解完后，应当及时地归纳、反思和构建。通过反思，进一步理清条件、结论，提出它们之间的内在联系，进而建立它们之间的联系，运用数学的语言、符号进而抽象、概括出问题的本质，这就是建模，体现了一个完整的思维过程。

归纳，反思，建构可以以小组合作学习的方式交流讨论，让学生自己找、自己说。为什么不是教师直接讲？因为一个题目并不是我们讲明白的，是学生悟出来的。即使我们讲明白了，学生没有真正领悟，过两周学生可能又不会了。

5.注意迁移应用的策略

经过反思，运用数学的语言、符号概括出问题的本质，完成建模之后，还要回归到问题，验证解的合理性。此时应当注意问题的迁移应用，让学生运用模型的解，去解决同类问题，达到举一反三、触类旁通的目标。

责任编辑  李  源