文／ 周 炼

相传法国哲学家、数学家笛卡尔有一天卧病在床，正思考着如何将几何与代数相结合，此时一只蜘蛛在墙角来回移动。笛卡尔突发奇想，将蜘蛛看成一个点，墙角的线看成数轴，坐标系的雏形便应运而生，代数与几何之间也架起了一座桥梁。那么，老师想问问同学们，当你们遇到几何问题时，会从代数角度去思考吗？今天我们不妨也将“点”视为“蜘蛛”，看看能否打开研究几何问题的新视角。

一、确定“蜘蛛”的位置

例1如图1，小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9。点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A、B分别落在点A′、B′处，小明认为B′、I、D三点共线，他的判断是否正确，请说明理由。

图1

【思路分析】这三只“蜘蛛”B′、I、D共线吗？我们可以选择其中两个点求出其直线表达式，然后将第三个点代入验证即可。本题中矩形的几何背景与相似关系为这样的做法提供了保障。建立如图2 所示的平面直角坐标系，过点B′作B′B″⊥BC，利用相似的有关知识可以求得，从而求得直线B′I的表达式为，再将点D（9，4）代入该直线表达式中，得，所以B′、I、D三点不共线。

图2

【归纳总结】平面直角坐标系的“定位”功能是刻画并确定点的位置最有力的工具。以后，我们在遇到描述点的位置问题时，在条件允许的情况下就可以考虑通过建立平面直角坐标系解决问题。

二、计算“蜘蛛”间的距离

例2如图3，矩形ABCD中，AB=6，AD=6，点E在AB上，且AE=2。将该矩形沿EF折叠，使点B恰好落在AD边上的点P处，连接PB交EF于点G，连接PF、DG，它们相交于点H，求HD的长。

图3