洪英兰

摘   要：双棱镜干涉测光波波长实验是光学实验中一个基本的实验。针对学生实验测量结果误差较大（测得钠光波长约为530-620 nm不等），本文对实验中可能涉及到的误差来源进行估算与讨论，通过调整双棱镜与狭缝的相对位置，探讨其对测量结果的影响，进而为双棱镜干涉实验准确测定钠光波长提供参考方案。

关键词：双棱镜，干涉，波长，误差

引言

1826年，法国科学家菲涅耳（Augustine J.Fresnel）进行双棱镜干涉实验，用毫米级的测量得到納米级的精度。双棱镜干涉测钠光波波长是普通物理的一个典型实验[ 1 ]，该实验方法与测量技巧很值得中学物理竞赛学生学习。许多同学在实验中测到的钠光波长约为530-620 nm不等，实验测量结果误差较大。针对双棱镜干涉测钠光波长实验中误差较大的问题，本文对实验中可能涉及到的误差来源进行估算与讨论，探讨主要误差的原因;通过调整双棱镜与狭缝的相对位置，探讨其对测量结果有无影响，是否有利于减小测量误差;进而为双棱镜干涉实验准确测定钠光波长提供有益的参考方案。

1  双棱镜干涉测钠光波长的实验方案

1.1  实验原理

如图1所示，单色光源M发出的单色光经透镜L汇聚后均匀照射狭缝S，透过S的光束经双棱镜B折射后形成两束相干光，可以把它们等价地看成是由两个相干虚光源S1、S2发出 [ 1 ]，这两束光在传播空间有一部分彼此重叠形成干涉区域，利用测微目镜就可观察到在空间屏P上所形成的清晰的干涉条纹，条纹的取向与狭缝平行，并可测得相邻两明（或暗）条纹中心距Δx。若再测得两虚光源S1、S2间的距离d，以及S1、S2所在的平面与空间屏之间的距离D。根据双光束干涉原理，可测得待测光波长λ[ 2 ]：

λ=Δx               （1）

1.2  三个参量Δx、D、d的测量方法

D是虚光源所在的平面（近似的在光源狭缝s的平面内）至观察屏P的距离，用米尺测量，其关键是利用辅助透镜判断观察屏P的位置。

d是两虚光源S1、S2之间的距离，可用两种方法测得：

方法一：用一会聚透镜L'置于双棱镜B与测微目镜O之间（如图2），在测微目镜前放一白屏P，移动透镜L'使白屏上出现两虚光源S1和S2经透镜所成的清晰的实像S''，用测微目镜测出实像S''间距d'，再测得两虚光源的物距s和像距s'，则可测得两虚光源之间的距离d（如图3）。

根据三角形相似可知[ 3 ]：

= ，   d=                （2）

由此可测得d。

方法二：用一会聚透镜置于双棱镜与测微目镜之间，使测微目镜到狭缝的距离L' >4f'，前后移动透镜L'，就可以在L'的两个不同位置上从测微目镜中看到两虚光源S1和S2经透镜所成的实像S'和S''，其中一组为放大的实像，另一组为缩小的实像。如果分别测得二放大实像的间距d1和二缩小像的间距d2（如图4），则根据下式[ 4 ]：

d=              （3）

即可求得两虚光源之间的距离d。

Δx是两相邻明（或暗）条纹中心距离，实验中用测微目镜测量干涉条纹的宽度Δx。为了提高测量精度，可测出多条干涉条纹间距离。测量时，使目镜叉丝对准边沿某亮条纹的中心或暗条纹中心，然后旋转测微螺旋，移动叉丝读取每级条纹的位置[ 2 ]，记录数据并用逐差法处理数据[ 2 ]。

2  双棱镜干涉测钠光波长的误差来源与评估

2.1  误差分析

对公式（1）两边取自然对数：Inλ=Ind+InΔx-InD，可得波长测量的误差传递公式：

=+++               （4）

由上式可见，Δx、D、d三个参量的测量方案的准确性对波长的测量均会引入误差，但引入相对误差的大小不同。为了提高波长测量的准确性，下文将对各个测量参量引入的误差大小进行评估，并介绍改进其实验测量方案。

2.2  测定Δx、D、d三个参量时引入的误差估算

对于D的测量实验中一般用米尺测量出狭缝S的平面至观察屏P的距离，其引入测量误差主要有两个因素：一是忽略了虚光源到狭缝间的距离引起的误差;二是米尺读数时存在视差引起，该误差至少达到的最小分度值1 mm。

D的测量误差大小估算如下：

由于双棱镜契角θ很小，可看成是厚度为t的玻璃板和厚度可以忽略的双棱镜两部分组成，由图5所示，狭缝S经玻璃板成虚像于s'。设双棱镜材料的折射率为n则有[ 2 ]：

a-b=1-

t=1-

×2.50 mm=0.8333 mm

可见，直接测量时忽略虚光源到狭缝间的距离为0.8333 mm，再考虑到米尺读数得视差1.0 mm，则D对波长测量所引入的相对误差为：

=+++ =0+0+=0.001826×100%=0.1826%

对于Δx的测量，通过测微目镜测量明暗相间的干涉条纹宽度Δx，其引入测量误差主要有三个因素：一是各级条纹有一定宽度，读数显微镜的叉丝难以完全对准条纹的中心;二是条纹间距不是完全等间距;三是读数显微镜的叉丝移动时可能会引入回程误差。

Δx的测量误差大小估算，可通过任取一组测量数据进行计算：

选取表2中第三组测量数据，计算Δx的标准误差[ 5 ]：

若采用逐差法处理数据，则Δx的标准误差为：

可见，对于Δx进行多次测量，并采用逐差法处理数据对实验结果影响比较小。

对于d的测量，利用辅助透镜将二虚光源成实像，通过测出二虚光源实像的间距得出二虚光源的间距，有一次成像法和二次成像法。

一次成像法即前后移动透镜L'两虚光源在白屏上只出现一次清晰实像时，测得两虚光源之间的距离d，其引入测量误差主要因素有：一是在测量两虚光源的物距s时忽略了虚光源到狭缝的距离;二是显微目镜读取两虚光源实像的间距时，由于像线有一定宽度存在误差，三是虚光源所成实像准确位置较难确定;四是测量物距s、像距s'和s''实像间距时也存在视差。

此时，d的测量误差大小估算：选取表3中一组测量数据进行计算。

由表3第一组数据可得，物距s、像距s'的标准误差为0.01， x1的标准误差为0.02，x2标准误差为0.02，测量物距s时还忽略了虚光源到狭缝间距离0.8333 mm的误差，则d的标准误差为：

=+++=+++=0.01063×100%=1.063%

根据误差传递公式（4），可得由d所引入的波长测量误差为：

=++=1.063%+0+0=1.063%

可见，用一次成像法测得d对实验引起的误差很大，因此要对一次成像法测量d的方案进行改进。

二次成像法即前后移动透镜L'两虚光源在白屏上出现两次清晰实像时，测得两虚光源之间的距离d，其引入测量误差主要因素有：一是显微目镜读取两虚光源实像的间距时，由于像线有一定宽度存在误差;二是两次所成实像位置的确定引入误差;三是在测量放大实像的间距d1和缩小像的间距d2时，若操作不当还会引入回程误差。

此时，d的测量误差大小估算如下：

利用下表1中数据可知，x11和x12引入的标准误差为0.02，x21和x22引入的标准误差0.02，可得d的标准误差为：

=（+）=（+++）=0.01425×100%=1.425%

根据误差传递公式（4），可得此时d所引入的波长测量误差为：

=++=1.425%+0+0=1.425%

可见，用二次成像法测得d对实验测量结果误差比较大，要对二次成像法测量d的方案进行改进。

2.3  实验测量方案的改进

针对三个参量测定时引入误差的主要因素，对三个参量的测量方案进行改进以减少实验测量误差。

D的测量方案改进：为了减少直接测量引入的误差我们采用二次共轭法间接测量，这样可以有效地修正直接测量时引入的误差，保证了测量结果的准确性。在双棱镜与白屏间放置焦距为f'的透镜L，使得虚光源到白屏间距离D>4f '时，前后移动透镜L能够获得虚光源在白屏上所成的两次清晰实像，一次成缩小像，像间距为d1，另一次成放大像，像间距为d2，两次成像时透镜移动的距离为t则如（图6） ，得到公式[ 3，6 ]：

D=t                       （5）

对于Δx的测量，测微目镜的叉丝尽量对准条纹中心，为了防止回程误差，旋转读数鼓轮时动作要平稳，缓慢，测量装置要固定，测量多条条纹。

对于d的测量，由于两虚光源S1、S2与狭缝光源S不在同一平面上，但二次成像法在实验计算时，忽略了两虚光源到狭缝间的距离，这样就会引入系统误差使得实验结果不甚准确。在利用两次成像法时常常会出现找不到两次成像的情况，因此采用一次成像法测量d，就解决了找不到成两次像时的情况，根据几何理论知识，由于两虚光源与狭缝不在同一平面上，因此对公式（2）计算进行修正：

d=d'              （6）

其中a-b=

1-t，为两虚光源到狭缝间的距离，该公式修正了忽略两虚光源到狭缝间距产生的测量誤差。

3  双棱镜与狭缝的相对位置对测量结果准确性的影响

实验过程中，移动双棱镜与狭缝的相对位置时干涉条纹会发生变化，当双棱镜与狭缝相对位置较大时，通过测微目镜看到清晰且细小的条纹;当双棱镜向狭缝靠近时干涉条纹逐渐变粗变亮。这一现象对实验测量结果是否有影响呢？

3.1  调整双棱镜与狭缝的相对位置测定D、d、Δx

为了分析移动双棱镜与狭缝相对位置对钠光波长测量的影响，首先利用二次共轭法测出D，在D不变的情况下分别测量出双棱镜与狭缝的相对位置不同时Δx、d，利用公式（1）计算出钠光波长，通过比较，确定双棱镜在相对狭缝什么位置时对钠光波长测量结果最准确。

关于D的测量。为了减小D的测量误差，本文采用二次共轭法测量D。在双棱镜与显微目镜之间放置辅助透镜L，使狭缝的二虚光源能两次成像，分别侧出二虚光源实像的间距d1、d2，再利用公式（5）计算出D。其实验测量数据如表1，表中d1、d2分别表示二虚光源成缩小、放大实像的间距，x11、x12和x21、x22分别表示缩小和放大实像在测微目镜中的位置，t为两次成像时透镜移动的距离。

代入公式（5）：

1=（0.583+0.583+0.583）=0.583

2=（5.292+5.292+5.292）=5.292

=（50.43+50.42+50.44）=50.43

所以

==×50.43（cm）=100.35 （cm）

关于Δx的测量。为了减小其测量误差，我们采用逐差法处理数据，为了研究双棱镜与狭缝的相对位置是否有利于减小测量误差，选取远、中、近三组双棱镜与狭缝相对位置进行测量，其实验测量数据如表2。表2中xi+10-xi（mm）表示相距10级条纹间距离。

关于d的测量。采用一次成像法测量d，对以上双棱镜与狭缝相对位置远、中、近三种情况分别进行测量，实验测量数据如表3。表中s表示两虚光源的物距、s'表示两虚光源的像距，x1、x2表示实像在测微目镜中的位置，d'=x2-x1表示测微目镜中实像的距离。

3.2  数据处理与结果

将虚光源到白屏间距离确定后固定不变，分别测量出双棱镜与狭缝相对位置不同时的Δx、d三组数据，对Δx利用逐差法处理后取平均值利用公式=

x得出，对d测出实像s''间距d'、两虚光源的物距s和s'像距多次测量取平均值后求出，利用公式（1）求出波长，对比三组测量结果，如表4。

表4中三组数据分别表示双棱镜与狭缝的相对位置远、中、近三种情况。表中数据表明，双棱镜与狭缝的相对位置不同，所得到的钠光波长值准确度有所不同。由于钠光波长的理论值为589.3nm，第三组数据最接近理论值，说明了双棱镜与狭缝的相对距离较小时，实验结果更准确，这是因为此时干涉条纹间距较大，读数显微镜的叉丝未完全对准条纹的中心而引起的相对测量误差较小。因此，在双棱镜干涉实验中，减少双棱镜与狭缝的相对距离有利于减少测量误差，提高测量的精度。

4  结论

双棱镜干涉测量钠光波长实验中产生误差的因素较多，主要是Δx、D、d三个参量的测量引入的，其中D的测量误差主要有两方面：一是忽略了虚光源到狭缝间的距离引起的误差;二是米尺读数时存在视差引起，该误差至少达到的最小分度值1 mm;Δx的测量误差主要有三方面：一是各级条纹有一定宽度，读数显微镜的叉丝难以完全对准条纹的中心;二是条纹间距不是完全等间距;三是读数显微镜的叉丝移动时可能会引入回程误差;一次成像法测量d的主要误差主要有四方面：一是在测量两虚光源的物距s时忽略了虚光源到狭缝的距离;二是显微目镜读取两虚光源实像的间距时，由于像线有一定宽度存在误差;三是虚光源所成实像准确位置较难确定;四是测量物距s、像距s'和实像s''间距时也存在视差;二次成像法测量d的主要误差主要有三方面：一是显微目镜读取两虚光源实像的间距时，由于像线有一定宽度存在误差;二是两次所成实像位置的确定引入误差;三是在测量放大实像的间距d1和缩小实像d2的间距时，若操作不当还会引入回程误差。为了提高实验的准确性，本文给出测量Δx、D、d三个参量的改进方案，对D的测量采用二次共轭法，可以使实验测量更加准确;对于Δx在处理数据时采用逐差法，可提高数据的准确性，减少随机误差的影响;对于d的测量可用一次成像法，为了减少了系统误差，需对计算公式进行修正。本文还通过实验研究了双棱镜与狭缝的相对位置对实验结果准确性的影响。结果表明，减少双棱镜与狭缝的相对距离有利于减少实验误差，提高钠光波长的测量精度。

参考文献：

[1] 杨述武，孙迎春，沈国士，等.普通物理实验（光学部分）[M].五版，北京：高等教育出版社，2016：44-46.

[2] 姚启钧.光学教程[M].五版，北京：高等教育出版社，2014：15-17，120-121.

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[5] 张书敏，许景周，李冀 . 普通物理实验[M]. 北京：科学出版社，2011：20-22.

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