王浩　陈次光

摘  要：椅子在凹凸不平的地面上始终能放稳，这一常见的生活现象可以作为数学建模的良好素材. 在数学建模过程中，学生尝试用数学语言描述这一现象，用数学知识解释现象背后的数学逻辑，从而积累丰富的数学活动经验，发展数学核心素养，提升自主学习能力.

关键词：数学建模;实际应用;函数零点

数学建模活动并非独立于常规教学，而是与常规教学相辅相成. 在数学常规教学中适当穿插数学建模活动，将数学知识应用于真实的生活情境，能让学生对教材知识的感知更加生动、立体. 为了促进学生数学建模素养的提升，笔者在学生学习函数零点存在性定理后，借助日常生活现象（把四只脚的椅子放在不平的地面上，通常只会有三只脚着地，放不稳，然而只需要稍微转动几次，就可以使椅子的四只脚同时着地）带领学生展开数学建模活动，感知函数零点存在性定理的魅力！

数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并需要完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环，如图1所示.

在实际建模活动中，笔者将这些步骤有机融合到课堂各环节中，且根据学生的认知规律进行了适当调整. 现将本次数学建模活动过程呈现如下.

一、先行组织，明确对象

为了让学生更加直观地感受这一生活现象，笔者把学生带到教室外，将一把椅子随意放置在凹凸不平的地面上，学生很直观地看到椅子有三只脚着地，一只脚悬空.

师：在不平的地面上随意放置椅子，都至少有三只脚着地吗？为什么？

生₁：是的，因为不在同一条直线上的三点确定一个平面.

師：现在椅子只有三只脚着地，不稳定. 大家有办法把椅子放稳吗？

学生根据生活经验转动椅子，调整位置，椅子就放稳了. 随后，学生多次随意把椅子放置在其他位置，最开始椅子往往都只有三只脚着地，但都能通过转动的方式放稳椅子.

师：经过多次试验，我们可以猜想一个怎样的事实？

生₂：将椅子放在不平的地面上，能通过转动椅子使其四只脚着地.

师：很好！这个生活现象能否用数学语言来描述并证明？

提出问题后，学生感到新鲜、有趣，但却无从下手.

在数学建模的准备阶段，要将实际问题中的元素转化为数学符号或数学语言，教师引导学生完成这一过程. 显然，椅子的四只脚可以抽象为A，B，C，D四点，而地面则可以抽象为曲面. 所以，椅子脚着地，可以用数学语言描述为点到曲面的距离为0，而椅子脚悬空则指点到曲面的距离大于0. 再结合“不在同一条直线上的三点确定一个平面”，学生容易得出结论：任意位置都能保证椅子至少有三只脚着地，即A，B，C，D四点中至少有三点到曲面的距离为0. 另外，为了便于模型的建立，可以进行一些适当且合理的假设，如假设椅子四只脚等长，则A，B，C，D四点的连线呈矩形.

【设计意图】学生动手操作，亲历椅子摆放和调整的过程，强调让学生经历动手操作、提炼研究对象和运用工具的全过程，发展学生的数学核心素养.

二、问题引导，建立模型

三、动手操作，求解模型

四、课后反思，积累经验

本次数学建模活动的设计和实施建立在“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的教育理念上，力求让学生感受运用函数知识建立模型并求解模型的过程与方法. 本次数学建模活动从身边的实际现象出发，学生更感兴趣，更有探究欲望. 从逐步建立并完善模型，到运用函数零点定理求解模型，学生在这个过程中体会到了将数学知识应用于实际生活的魅力. 在与学生共同完成本次数学建模活动后，笔者有以下两点思考.

1. 数学建模活动应该受到更多的关注

在本次数学建模活动中，学生所表现出的积极性和参与度远超传统课堂，从最开始转动椅子的动手实践，到回到教室建立并求解数学模型，学生积极思考、主动探索，学习状态与传统课堂中的被动接受知识形成鲜明对比. 虽然应用函数零点存在性定理的习题比比皆是，但如此应用还是令学生耳目一新. 由此可见，数学建模活动应该在高中阶段受到师生的更多关注.

2. 教师在数学建模活动过程中的指导要适度

虽然数学建模活动激发了学生较大的研究热情，但从教学实践中看到，高一的学生对数学建模的过程和方法仍然较为陌生，还需要教师加以指导，但教师的指导要适度. 数学建模活动难在建模，教师切勿在建模初期急于求成，直接帮学生抽象出数学模型，然后将抽象出的数学问题抛给学生解答，若此，便丢掉了数学建模的灵魂. 好的做法应该是通过多个小问题引导学生对实际现象进行抽丝剥茧，从而将数学模型逐步从实际问题中抽象出来. 学生在这个过程中能够体会并掌握建立数学模型的一般方法，从而真正发展数学建模素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2018.