分类讨论思想在初中数学解题中的应用

2022-05-30利剑春

中学教学参考·理科版 2022年6期

利剑春

[摘要]初中数学是一门难度较大的学科，对学生的能力要求相对较高。在初中数学教学中，为了满足学生的学习需求，让学生能更好地进行学习，加强对知识的理解与记忆，教师需要采取高效的教学方法。在初中数学解题中应用分类讨论思想，不仅能让学生掌握解题的规律及正确的解题方法，还能提升学生的解题效率。在初中数学教学中，教师可结合典型问题引导学生合理应用分类讨论思想，以助力学生有效解题，提升学生的解题能力。

[关键词]分类讨论思想;初中数学;应用

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2022）17-0019-03

把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，我们称为分类讨论思想。分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。比较是分类的基础，也是分类的前提，分类是比较的结果。分类要制订一定的标准，分类的结果会因为标准的不同而不同，分类还要做到不遗漏、不重复。在初中数学解题教学中，教师引导学生应用分类讨论思想研究和解决问题，有助于学生掌握正确的解题方法。常见的数学分类讨论有由概念引起的分类讨论、由参数的变化引起的分类讨论等。分类讨论应科学、严谨，要遵循同一性原则、互斥性原则与层次性原则。分类讨论的步骤为：明确讨论的对象及其取值范围;合理选择分类标准，确保分类的合理性;正确进行分类，逐类、逐段进行讨论，综合得出结果。本文重点对涉及分类讨论的几种类型题进行分析，以提高学生的解题能力。

一、函数相关问题的分类讨论

函数是初中数学的重点内容，其考查的重点为二次函数。在解决函数问题的过程中，学生如果没有掌握一定的解题方法与技巧，就难以提高解题效率与准确度，也无法取得好成绩。二次函数相关题型多涉及参数，所以要求学生能善于应用分类讨论思想进行解题。

[例1]函数[y=kx2-8x+8]的图像与[x]轴有两个交点，则[k]的取值范围是__________。

这是一类涉及参数的函数问题。学生乍一看发现函数图像与[x]轴有两个交点，于是就想到用[Δ>0]来求解，列出[Δ=（-8）?-32k>0]，解得[k<2]。对此，笔者给予提示：“这个函数一定是二次函数吗？”学生这才注意到，函数解析式的二次项系数是字母[k]，而[k]的取值不同时，对应的将是不同的函数。由此，学生进行[k=0]和[k≠0]的分类讨论：（1）当[k=0]时，原函数是一次函数，其解析式为[y=-8x+8]，其图像与[x]轴只有一个交点，与题意不符;（2）当[k≠0]时，原函数是二次函数，其解析式为[y=kx2-8x+8]，由[Δ>0]解得[k<2]且[k≠0]。故本题[k]的取值范围是[k<2]且[k≠0]。

这是一道易错题，学生经常会忘记讨论函数解析式二次项系数是否为0的情况，由此教师需要归纳总结：二次项系数是否为0，是一个函数是否为二次函数的前提条件。如果二次项系数是参数或者是含有参数的式子，同样也需要讨论是否为0。

二、绝对值问题的分类讨论

在初中数学解题教学中，为了让学生形成分类讨论思想，教师应做好引导。分类讨论要有其原则，避免胡乱分类或者分类缺乏条理。在分类时，要求每一部分都是相互独立的，且按照一个标准进行分类，分类需逐级进行。为了让学生能顺利完成分类讨论，教师可结合一些有代表性与典型性的题目来进行引导。绝对值问题是代数的重要内容之一，要求学生能應用分类讨论思想来求解。教师可结合这类问题进行引导。

[例2]已知[0≤a≤4]，化简[a-2+3-a]。

本题要求化简的式子含有两个绝对值，在[0≤a≤4]范围内，分别有不一样的化简结果，因此不能直接化简，需要分类讨论。对此，笔者设计了以下提问：

（1）当[a=0]，1，2，3，4时，化简结果是否一样？如果不一样，为什么？

（2）哪些数使得两个绝对值分别等于0？

（3）如果只化简[a-2]，[a]的取值范围需要分为几种情况？

（4）如果只化简[3-a]，[a]的取值范围需要分为几种情况？

（5）如果同时化简[a-2]和[3-a]，[a]的取值范围又需要分为几种情况？

学生会逐一思考，从而发现影响化简结果的临界值是[a=2]和[a=3]这两个数，因此，这两个数把[0≤a≤4]分为三个小范围：[0≤a≤2]，[2

这样循序渐进地设问，学生会意识到有关绝对值的分类讨论，是从绝对值符号里面的式子与0比较大小来入手的，这为以后解决更复杂的绝对值分类讨论问题奠定了基础。

三、三角形相关问题的分类讨论

等腰三角形是特殊的三角形，学生很容易在解决三角形相关问题时出现错误，所以教师要善于应用分类讨论思想来引导学生解决问题，让学生通过分类讨论，掌握正确的解题方法。压轴题是历年数学考试的重点，分类讨论是数学压轴题最为常见的解题思路与方法，通过分类讨论，学生可有效解题，掌握解题技巧，并能举一反三。压轴题中特殊三角形、特殊四边形等问题都要进行分类讨论。对于直角三角形的存在性问题也可以应用分类讨论思想，可按照直角顶点的不确定性来进行分类讨论。在三角形相似的存在分类讨论中，主要对已知三角形的特征进行确定。以等腰三角形的分类讨论为例，可以分为以下四大类问题，学生可以利用分类讨论思想分析解决这四类问题。

第一，遇边问题需讨论。

比如[a]，[b]是等腰三角形的两条边长，且[a]，[b]满足[a-1+2a+3b-11=0]，则该等腰三角形的周长为__________。

对于本题，学生可以先根据绝对值的非负性，列式解出[a=1]，[b=3];接着求三角形的周长，因为题目并没有明确腰和底边，所以就要进行分类讨论。当[a]是底边时，三边分别为3，3，1，周长为7;当[b]是底边时，三边分别为1，1，3，周长为5。很多学生认为本题的答案为7或5。对此，笔者进行提问：这两种情况下的边长，能否构成三角形？学生恍然大悟：当三边分别为1，1，3时不能构成三角形。

由此可以归纳出：等腰三角形对底边和腰进行分类讨论得出来的结果，也需要进行严密的检验;只有符合三角形两边之和大于第三边的条件，才能构成三角形。

第二，遇角问题需讨论。

比如已知等腰三角形的一个内角为70°，求三角形另两个角。这类题目并没有说明已知角是顶角还是底角，这时就需要进行分类讨论了。可先将已知角分为顶角与底角两类，然后再通过三角形内角和定理进行计算。

第三，遇中线问题需讨论。

比如一个等腰三角形一腰上的中线把三角形分为两个部分，其中一个部分的周长为9厘米，另一个部分的周长为12厘米，求三角形的底和腰。对于这类问题，需要画图分析。画图时就会发现需要分类讨论，明确9厘米与12厘米是上下哪部分。当9厘米是上面部分时，设底边和腰为未知数，列出方程，求得底边和腰分别是6厘米和9厘米;当12厘米是上面部分时，求得底边和腰分别是8厘米和5厘米。

第四，遇高问题需讨论。

比如已知一个等腰三角形，一条腰上的高与另一条腰的夹角为20°，计算顶角的度数。由于锐角三角形的高在内部，钝角三角形的高在外部，对于这类问题也要进行分类讨论。结合图形，将三角形的顶角分为锐角与钝角两种情况进行分类讨论。当顶角是锐角时，由三角形内角和求得顶角为70°，同理，当顶角是钝角时，求得顶角为110°。

由此可见，对于与三角形有关的问题，大多数都是需要画图进行分析，而在画图的过程中，就会遇到各种情况需要进行分类讨论。因此，分类讨论思想和数形结合思想密不可分。

四、方程和不等式问题的分类讨论

数与代数是初中数学的主要知识点之一。实数、代数式等是数与代数的重要内容。数与代数的涉及范围较广，学习难度较大，如何才能让学生更加高效、灵活地解题成为教师关注的重点。在近几年的中考数学中，数与代数的考查相对较多，且属于综合性题目，对学生提出了更高的要求。数与代数综合题中涉及的知识类别常呈现出“你中有我，我中有你”的关系。数与代数综合题主要分为四大类。第一类，以方程（组）为主的“数与代数”综合题。这类题型的考查重点放在分式方程、一元一次方程的应用方面，所以教师在教学过程中可通过典型案例，引导学生解题，在解题过程中要求学生能对题目中的等量关系予以明确，并列出相应的方程。第二类，以不等式（组）为主的“数与代数”综合题。这类题型一般对学生的列方程能力、应用不等式组解决实际问题的能力进行考查，问题一般来源于生活。第三类，以函数为主的“数与代数”综合题。这类题目考查的重点是一次函数的应用。第四类，函数与不等式（组）相结合的“数与代数”综合题。这类题型考查的重点为一次函数的解析式的运用。对于这个知识点，分类讨论也是常考的点。比如2021年北部湾中考数学第12题就考查了不等式的分类讨论。

[例3]定义一种运算：[a?b=a， a≥b，b， a3]的解集是（）。

A. [x>1]或[x<13]

B. [-1

C. [x>1]或[x<-1]

D. [x>13]或[x<-1]

如果僅仅是考查解不等式，估计很多学生都可以得出正确答案。但这是一道定义新运算的题目，这个新运算是以分段函数的形式出现的，它的本质其实就提示了要对[a]和[b]的大小进行分类讨论。

先让学生读懂这个新运算的法则：

当[a≥b]时，[a?b=a];

当[a

同理，在所求不等式中，

当[（2x+1）≥（2-x）]时，[（2x+1）?（2-x）=2x+1]，

当[（2x+1）<（2-x）]时，[（2x+1）?（2-x）=2-x]。