王莉璠

[摘  要] 文章通过探究一道求线段长度最值题的多种解法，以提高学生学习的兴趣与解题能力，促使他们了解并掌握求线段长度最值题的常用方法：轨迹法、构造折线段法、构造函数法.

[关键词] 一题多解;最值;线段长度

很多数学题都有多种解法，我们在平常的教学中要让学生养成发散思维的习惯，让学生从不同的角度思考问题，以此探寻同一问题不同的解法，这样有利于提高学生的学习兴趣与解题能力. 下面以一道初中求线段长度最值题为例，谈谈如何从不同的角度思考、分析问题，进而得到不同的解题方法.

题目与分析

如图1所示，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4，连接AC，BD. 若BD⊥CD，求AC长度的最大值.

这是一道求线段长度的最值问题，主要考查学生利用知识解决问题的能力. 解决此题有多种方法，下面进行详细的阐述.

思路与解法

视角1将B，C视为定点，D视为主动点，A视为从动点，根据主从动点的关系，利用主动点D的运动轨迹判断从动点A的运动轨迹，再利用点A的运动轨迹解题.

解法1如图2所示，因为∠BDC=90°，BC=4，所以点D在以BC为直径的圆O上运动. 因为AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形. 所以BD=BA. 将△BDC及其外接圆O绕点B逆时针旋转60°后，得到△BAC′和圆O′，连接O′A，O′C，C′C. 因为BC′=BC，∠C′BC=60°，所以△C′BC是等边三角形. 因为O′为BC′的中点，所以O′C=BC=2. 因为O′A为圆O′的半径，所以O′A=BC′=BC=2. 因为C为定点，A为定圆O′上的动点，所以AC长度的最大值=O′A+O′C=2+2.

點评因为BC的长为定值（BC=4），它所对的∠BDC也为定值（∠BDC=90°），因此可将B，C视为定点，D视为动点. 因为△ABD是等边三角形，因此点A可视为由点D绕点B逆时针旋转60°后得到的. 故动点D为主动点，动点A为从动点. 因为点D在圆O上，因此点A在圆O′（圆O′为圆O逆时针旋转60°后所得）上. 于是可将求AC的最大值问题转化为求定点C与定圆O′上动点A之间的距离最大值问题.

视角2  将B，C视为定点，因为D，A为动点，它们之间又有固定的关系，于是通过旋转把动点A旋转到动点D的位置，再利用动点D的轨迹解题.

解法2  如图3所示，因为∠BDC=90°，BC=4，所以点D在以BC为直径的圆O上. 因为AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形. 所以BD=BA. 将△BAC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBC′，连接OD，OC′，C′C. 因为BC′=BC，∠CBC′=60°，所以△CBC′是等边三角形. 因为O为BC的中点，所以OC′=BC′=BC=2. 因为OD为圆O的半径，所以OD=BC=2. 因为C′为定点，D为定圆O上的动点，所以DC′长度的最大值=OD+OC′=2+2. 因为DC′=AC，所以AC长度的最大值为2+2.

点评将B，C视为定点，A，D视为动点，利用旋转，将动点A旋转到动点D的位置，把求AC长度的最大值问题转化为求DC′长度的最大值问题.

视角3  将∠BDC视为定角，B，C分别视为DB，DC上的动点，根据定角对定边的三角形的外接圆的半径为定值的特性，利用三角形的外接圆的圆心构造折线段解题.

解法3  如图4所示，因为AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等边三角形. 所以BD=BA. 将△BAC绕点B顺时针旋转60°后得到△BDC′，取BC的中点O，连接OD，OC′，C′C，则OD=BC=2. 因为BC′=BC，∠CBC′=60°，所以△CBC′是等边三角形. 所以OC′=BC′=BC=2. 因为DC′≤OD+OC′，所以DC′≤2+2，且当D，O，C′三点共线时，DC′的长度取得最大值2+2. 因为DC′=AC，所以AC长度的最大值为2+2.

点评将△BAC绕点B顺时针旋转60°后得到△BDC′，把求AC长度的最大值转化为求DC′长度的最大值. 因为∠BDC为定值（∠BDC=90°），它所对的边BC为定值（BC=4），因此将∠BDC视为定角，B，C分别视为射线DB，DC上的动点，则△BDC外接圆的半径为定值. 由于∠BDC=90°，因此△BDC外接圆的圆心O为BC的中点. 根据△BDC外接圆的半径为定值这一特性，利用圆心O在D，C′两点之间构造一条折线段，且组成这条折线段的两条线段的长度均为定值，再利用三角形的三边关系求DC′长度的最大值，即得AC长度的最大值.

视角4将B，C视为定点，将线段BD的长度视为变量，构造关于线段AC长度的函数，利用函数的性质求最值.

解法4  如图5所示，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E. 因为AB=AD，∠BAD=60°，因此△ABD是等边三角形. 所以BD=AD，∠BDA=60°. 因为∠BDC=90°，所以∠ADE=30°. 设BD=x（x>0），则AD=x，AE=AD·sin∠ADE=x，DE=AD·cos∠ADE=x. 在△BDC中，因为∠BDC=90°，BC=4，BD=x，所以CD==. 所以CE=CD+DE=+x. 所以AC2=CE2+AE2=16+=16+≤16+8=（2+2）2. 所以AC≤2+2. 所以当x2=8，即x=2时，AC的长度取得最大值2+2.

点评因为△BAD是等边三角形，BC是定值（BC=4），因此把B，C视为定点，当线段BD的长度发生变化时，会引起D，A两点的位置变化，从而引起线段AC长度的变化. 所以设线段BD的长度为变量x，构造关于线段AC长度的函数，再利用函数的性质求最值.

求线段长度最值的常用方法有：轨迹法、构造折线段法、构造函数法. 根据这些方法求线段长度的最值，要么寻找动点的轨迹，将所求最值问题转化为求点与圆、点与直线间距离的最值;要么构造折线段，利用三角形的三边性质求最值;要么构造函数，利用函数的性质求最值.