陈仿云 余其权

一、结构统一，构造函数

例1（2022届深圳市实验学校月考）已知函数f（x）=1/2x2，g（x）=alnx。

解析：

评注：本题将变形为 x1-x2h（x1）—2x1>h（x2）—2x2，使不等式的两边结构统一。设x1>x2，构造函数F（x）=h（x）—2x，问题转化为F（x）在（0，+00）上为增函数，则F'（x）≥0在（0，+o）上恒成立，参变分离得a≥（2x—x2）max，最后根据二次函数的最值求实数a的取值范围。

二、寻找关系，变量化一

例2（2022届阳春市第一中学月考）已知函数f（x）=x2+ax+2lnx（a为常数）。

（1）当a≤4时，讨论函数f（x）的单调性;

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1-x2|≤3/2，证明：1f（x1）-f（x2）|≤ 1/6-41n2。

解析：

评注：本题的关键点为利用函数的两个极值点求得x1，x2的关系，利用函数的单调性求得|f（x1）-f（x2）|=f（x1）-f（x2），代入解析式替换掉x1后得到仅含有一个变量x2的解析式，然后构造函数求导，利用单调性解决问题。

三、差的代换，变量化一

例3（2021届湛江市高三第一次模拟）已知函数f（x）=e，g（x）=2ax+1。

（1）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值集合;

（2）若a>0，且方程f（x）—g（x）=0有两个不同的根x1，x2，证明：+2< ln（2a）。

解析：

四、商的代换，变量化一

例4（2022届皖西七校联考）

（1）当a=—2时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围;

（2）

解析：

评注：

总之，证明或求解双变量函数或不等式的基本思想是将二元函数或不等式转化为一元函数或不等式，可以合理利用双变量之间的关系直接代入消元，也可以分散双变量后直接构造函数，还可以变换不等式使两个变元成为一个整體即重组双变量后换元成单变量的函数，掌握这些常用的方法，则这类函数问题就能迎刃而解。

（责任编辑王福华）6122E2CD-BCF3-4BEC-BBFD-EF58EDAB3679