杜龙安

函数零点是函数的重要性质之一，函数零点问题一直是高考全国卷考查的热点、难点问题，常以压轴题的形式出现。该类问题主要考查同学们分析问题和解决问题的能力，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养，考查分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法。试题通过引入参数，由于参数不确定而引起分类讨论，通常设置的问题有：讨论零点个数、证明零点个数、已知零点个数求参数范围、已知零点范围求参数范围等。本文结合例题帮助同学们梳理函数零点问题的考查形式和求解思路，从而提高备考的针对性，最终达到提高高考竞争力的目的。

一、讨论零点个数

例1设函数f（x）=1/2x2-（a+1）x +alnx，a>0。

（1）求函数f（x）的单调区间;（2）讨论函数f（x）的零点个数。

解析：

综上可得，函数f（x）有唯一零点。

评注：该题第（1）问的难度不大，体现试题的低起点，有利于同学们的解答，主要通过对a进行分类讨论后得出函数f（x）的单调区间;第（2）问可根据第（1）问的结果求出函数f（x）的极值，然后再对函数f（x）的极值的符号进行讨论，并结合函数零点存在定理，从而确定函数f（x）的零点个数。该题求解的关键是求函数的极值，以及对函数的极值的符号的讨论，分类讨论思想在该题中起到举足轻重的作用。

二、证明零点个数

例2 已知函数f（x）=sinx-ln（1+x）。（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程;

（2）证明：函数f（x）只有两个零点。

解析：

综上所述，函数f（x）只有两个零点。

评注：本题分类讨论的标准与例1不同，主要结合三角函数值的有界性进行分类，整道题的求解思路还是讨论函数f（x）的单调性，求函数f（x）的极值，判断函数f（x）的极值的符号，最后结合函数零点存在定理即可确定函数f（x）的零点个数。

三、已知零点个数求参数范围

例3 已知函数f（x）=（2ax2+bx+ 1）e（e为自然对数的底数）。

（1）若a=1/2，求函數f（x）的单调区间;

（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围。

解析：（1）略。

（2）

综上所述，实数a的取值范围为（e-2，1/2）。

评注：本题较为复杂，难度较大，主要因为需要多次求导，多次换元，利用数形结合思想分析函数的单调性、最值，结合函数零点存在定理判断函数零点情况。求解整道题的关键是利用导数这个工具，讨论函数f（x）的单调性，从而得到函数f（x）的最小值，然后根据函数f（x）有两个零点得到h（x）<0，求得实数a的取值范围，最后利用零点存在定理进一步验证。

四、已知零点范围求参数范围

例4 已知函数f（x）=1nx，g（x）= -x2+ax+1。

（1）求函数y=f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最大值;

（2）若函数y=x2f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1121n 2，求实数a的取值范围。

解析：（1）略。

（2）

评注：本题求解的关键是在求得函数f（x）的单调区间和最小值后，利用数形结合思想得出x2—x1的值随着a的增大而增大，后面就只需求解当x2—x1=1/21n2时a的值即可。

研究函数零点问题需要借助导数工具讨论函数的单调性，然后求函数的极值、最值，再利用数形结合思想分析函数的变化趋势。函数零点问题有较强的综合性，问题的求解对同学们的数学综合能力要求比较高，对分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法的考查尤为透彻，因此，此类题一直是高考得分率较低的题目。同学们只要平时勤于思考，勤于动手，多归纳总结，勤于提炼思想方法，积累解题经验，提升解题能力，就可以攻破此类问题。

（责任编辑王福华）