逆xgamma分布下的应力强度模型可靠度估计

2022-05-02戴林送马秀平

邵阳学院学报（自然科学版） 2022年2期

戴林送,马秀平

(安庆师范大学数理学院,安徽安庆，246011)

BIRNBAUM[1]提出了应力强度模型，记产品的结构强度为随机变量X，产品所受的应力为随机变量Y，当产品结构强度比所受的应力大时，系统正常，否则失效，即产品可靠度为R=P(X>Y)。该模型在很多领域有着广泛地运用，如工程，医疗卫生，生物等。

Xgamma分布在可靠性分析中有着重要的应用，SAHA等[2]讨论了该分布的可靠性特征以及相关的应用。作为xgamma分布的一种推广，YADAV等[3]提出了逆xgamma分布，这个新分布相较于指数分布、xgamma分布等更加灵活，通过运用极大似然等方法得到逆xgamma分布中未知参数的点估计，在极大似然估计中采用了牛顿-拉夫逊迭代算法进行了近似求解。对于逆xgamma分布的有关统计性质，YADAVA等[4]进行了详细的分析，给出了参数的信息阵，并在渐进删失方案下运用经典贝叶斯方法对未知参数进行了估计，并与极大似然方法做了比较。虽然，逆xgamma分布近几年受到了较多的关注，但基于该分布的应力强度模型相关研究目前还未发现。

本文研究基于极大似然方法的逆xgamma分布应力强度模型可靠度的点估计与置信区间，并通过随机模拟和实例验证该方法的效果。

1 逆xgamma分布下的应力强度模型可靠度

由YADAV等[3]可知：若X服从逆xgamma分布，则其概率密度函数与分布函数分别为

其中，参数θ>0，记作X～IXGD(θ)。

记应力强度模型中的强度变量为X，X～IXGD(θ1)，应力变量为Y,Y～IXGD(θ2)，这里X，Y独立。

2 基于牛顿迭代法的可靠度极大似然估计

根据极大似然估计，在满足正则条件下考虑对数似然函数的导数，记x=(x1,x2,…,xn)T和y=(y1,y2,…,yn)T分别为强度与应力的样本，θ=(θ1,θ2)T为未知参数向量。L(θ)和l(θ)分别为逆xgamma分布应力强度模型的似然函数以及对数似然函数，则：

xi,yi>0,i=1,2,…,n;

xi,yi>0,i=1,2,…,n。

对对数似然函数l(θ)关于参数θ1,θ2分别求一阶偏导数，得：

整理可得：

其中，l(θ0)为对数似然函数二阶偏导数在θ0处构成的矩阵，二阶偏导数矩阵如下：

矩阵中的元素分别为

3 可靠度的置信区间

根据文献[5]的做法，记R为应力强度模型的可靠度，则：

可以看出：应力强度模型的可靠度与参数θ1,θ2有关。

定理: 可靠度R是参数θ的函数，联合分布关于R的信息阵I(R)与θ的信息阵I(θ)关系为

由极大似然估计的不变性与渐进正态性有：

可得：

4 随机模拟

针对逆xgamma分布应力强度模型可靠度估计的结果进行随机模拟，参数的真实值选择让可靠度真实值有一定的区别，同时，参数之间也有一定区别，本文参数真实值依次为(1.871 4，4.402 5)，(1.176 3，1.528 6)，(2.347 1，1.678 5)和(3.921 6，1.483 2)，相应的可靠度真实值依次为0.255 3，0.409 0，0.609 0和0.707 0，分别产生样本容量依次为10，50，100，150，200，250和300的样本，对每种情况重复2 000次，取2 000次的平均值作为模拟结果，模拟结果分别见表1～4。从表1～4中可以看出：随着样本容量的增大，可靠度的估计值越接近真实值，相应地可靠度的置信区间长度也逐渐减小。另外，可以看出：可靠度的真实值大小也会影响极大似然估计值，如真实值为0.255 3 与 0.409 0，即偏小的时候，估计值都是从真实值的右边逐渐接近；而可靠度真实值为较大的0.609 0与0.707 0时，估计值从真实值的左边逐渐接近。模拟的效果显著，方法可行。