巧用最大公因数与最小公倍数解决小学相关问题的探索

2022-04-27张恩厚

民族文汇 2022年6期

关键词：应用

张恩厚

关键词：最大公因数;最小公倍数;应用

最大公因数与最小公倍数是小学数学中的重要概念之一，是继整除概念之后的重要内容，也是后续学习分数运算的必备基础，更有许多实际问题与之相关，但应用其解决问题却是一个难点，特别在一些应用题中看似与之无关，仿佛要用更高或更深的知识解决的问题，其实可以巧用最大公因数或最小公倍数在算术范围内就可以解决，因为问题本质上就是公因数或者公倍数的问题。

一、巧用最大公因数解决相关问题

设个整数，若d是这n个数中每一个数的因数，则d就叫做这n个数的一个公因数，这些公因数中的最大的一个叫做最大公因数，记作 [1]。

1.求公因数的问题

由于几个数的公因数是其最大公因数的因数，因此，求几个数的公因数就可以先求出这几个数的最大公因数，然后再写出该最大公因数的所有因数即可。此时可由质因数分解法或者短除法亦或辗转相除法求出最大公因数。例如求60和24的公因数，可由得，而，故60与24的公因数有1，2，3，4，6，12。

例1. 某公司某产品单价超过1元，去年销售总额为36963元，今年单价没变，销售总额为59570，求去年和今年这种产品各销售多少件。

分析：单价没变，那么产品单价就应该是两年销售额的公因数，因此只需求出两年销售额的最大公因数就能解决问题。

解单价是（36963，59570）=37，因37是质数，故37大于1的因数只有37，因此单价为37元，故去年销售出：），今年销售出：）。

2.容器分装的问题：在很多容器分装的问题中，往往可以通过巧用最大公因数来解决，并且在解决问题的同时也加深了对最大公因数概念的进一步认识。

例2. 小明只有一个27升和一个15升的桶，但他现在需要从池子里舀出6升水，他要怎么利用手里这两只桶完成任务呢？

解：显然（27，15）=3，，，那么，而，因此，小明只需要用15升的桶装满后再倒入27升的桶里，每次27升的桶装满后就把水倒掉，这样当27升的水桶第二次装满水时，15升桶里剩下的水就刚好是6升。这个问题的数学本质是要找到两个整数使之分别与27和15相乘后的代数和等于6，而由裴蜀恒等式[2]可知一定可以找到两个整数分别与27和15相乘后等于（27，15），而6=2（27，15），此类问题得解。

3.优化问题：在有些既要均等又要最大化的问题里，往往就是一个需要利用最大公因数解决的问题。

例3. 把一块长240公分，宽140公分的长方形薄片，截成大小相同的正方形薄片，正方形的边长最长可以为多少公分？总共可以截成这样的正方形多少个？

分析：显然，正方形的边长必须同时能整除240和140，也就是边长为240和140的公因数，又要正方形最大，那么正方形边长当然是取公因数中最大者即最大公因数。

解：由题意得（240，140）=20（公分），（个），因此，最大正方形铁片的边长为20公分，总共可以截成84个这样大的正方形。

4.猜数问题：有些猜数问题看似与最大公因数无关，其实可以巧用最大公因数解决。

例4. 猜一个整数a，用a去除47、61、75这三个数都余5，这个a是多少？

分析：既然都余5，那么这三个数都减去5以后就应该能被a整除，亦即a就应该是减去5以后的三个数的公因数，而且因为余数只能小于除数，所以这个公因数应该是最大公因数。

解根据题意a是（47-5）、（61-5）、（75-5）的最大公因数，而（47-5，61-5，75-5）=（42，56，70）=7，故所求数a=7

二、巧用最小公倍数解决相关问题

设个整数，若d是这n个数的倍数，则d就叫做这n个数的一个公倍数，又这一切公倍数中的最小正数叫做最小公倍数，记作 [1]。

1.相遇问题

我国农历是以十个天干和十二个地支配对纪年，因为[10，12]=60，故60年为一个甲子，这其实就是每60年天干中的甲就会与地支中的子相遇。这一类相遇问题很多，仔细分析都涉及最小公倍数问题。

例5. 甲、乙、丙三个小朋友围着操场跑步，甲6分钟跑完一圈，乙8分钟跑完一圈，丙要10分钟才能跑完一圈，当三人同时从起跑线出发，三人同时相遇最少需要多少分钟？

分析：要相遇，时间必然是三人各自跑一圈用时的公倍数。

解：甲乙丙相遇所需最少时间为：[6，8，10]=120（分鐘）故，最少要120分钟三人才会再同时相遇。

可巧用最小公倍数解决的相遇问题还有很多，例如调度问题，不同齿数的齿轮啮合转动的问题等，都可归属周期性的相遇问题。

2.求人数的问题

例6. 某班订了一批体育器材，每人订了1个小皮球，每2人订了一根跳绳，每3人订了一个呼啦圈，总共正好订了55件体育器材，请问该班有多少个学生？

分析：既然总的刚好订了55件，那么人数就应该既是2的倍数又是3的倍数，当然是1的倍数，因此此问题与公倍数相关。

解由于人数是1、2、3的倍数，而[1，2，3]=6，每6人组共订器材为：（件），由，故该班人数为）。

例7. 某器件加工共有三道工序，第一道工序每人每小时可完成3件，第二道工序每人每小时可完成12件，第三道工序每人每小时可完成5件，请问三道工序应该分别分配几个工人才能均衡作业？

分析：要做到均衡作业，就必须在相同的时间内三道工序完成相同的件数才行，也就是要先求出12、5、3的最小公倍数，然后才能确定每道工序该配备多少工人。

解因[12，5，3]=60，故在相同的时间内完成60件的话，第一道工序需要：），第二道工序需要：），第三道工序需要：），此类问题的本质就是最小公倍数的问题。

3.猜年龄的问题

猜年龄的问题比较多，很多都可巧用最小公倍数求解。

例8. 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”请问爷爷和小明现在的年龄是多少？

分析：注意此问题中的变量与不变量，不变的是两人的年龄差，因此两人的年龄差就分别是6、5、4、3、2、1的倍数，故只需求出这6个数的公倍数，然后根据实际情况就可确定两人的年龄。

解：由于两人年龄差不变，故由题设可先求

[（7-1），（6-1），（5-1），（4-1），（3-1），（2-1）]=[6，5，4，3，2，1]=60

两人年龄差是60的倍数，根据实际情况，可判断出爷爷现在的年龄是70岁，小明的年龄是10岁。

由于公倍数是最小公倍数的倍数，故在需要求公倍数时只需先求出最小公倍数即可。

4.简单的同余问题

有一类简单的同余问题，稍作变换后可巧用最小公倍数解决，例如著名的孙子问题：有一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？这个问题其实可以巧用最小公倍数解决，一个数除以3和7都余2，那么这个数一定比3和7的最小公倍数大2，即，而23这个数恰好除以5余3.利用公倍数是最小公倍数的倍数，可以解决类似的稍难一点的问题。例如，求一个除以3余2、除以5余3、除以7余4的最小正数。分析：首先，从除以3余2的数中找到除以5余3的数，然后再将上一步找出的数逐次加上3和5的最小公倍数15，从中去找到除以7余4的数即可。

5.涉分数相关的问题

涉分数的问题往往比较难也比较复杂。此类问题不仅要发现其与公倍数的联系，还必须充分理解分数的含义，才能找到问题的解决方案。

例9. 全校有一千多名运动员参赛，其中参加球类比赛人数占1/3，参加田赛人数占2/7，参加泳赛人数占1/5，剩余的参加其它项目比赛，比赛结果，参加球赛的有1/6的运动员获奖，参加田赛的有1/8的运动员获奖，参加泳赛的有1/12的运动员获奖，请问共有多少名运动员？

解：参加球类比赛获奖的占全体运动员的，参加田赛获奖的占全体运动员的，参加泳赛获奖的占全体运动员的，因此，参赛运动员总数应该是18、28、60的倍数，而[18，28，60]=1260，故运动员总数应是1260的倍数，但题设只有一千多人，所以全校总共有1260名運动员。

此类与分数相关的问题，能否用最小公倍数解决，取决于个体的不可分性。

还有更加复杂的涉分数的问题，需要用最大公因数和最小公倍数来求分数的最小公倍数，这在小学较难理解。

例10. 袋鼠和羚羊进行跳跃比赛，袋鼠每次跳米，羚羊每次跳米，它们每秒都只跳一次，赛道从起点开始，每隔米设有一个陷阱，请问它俩谁先掉进陷阱？当它掉进陷阱时另一个跳了多少米？

分析：它们第一次掉进陷阱时都应该是它们的速度与井距的最小公倍数。

解袋鼠第一次掉进陷阱时距离起点为

（米），此时袋鼠跳了（次），

同理，羚羊第一次掉进陷阱时距离起点为，（米），此时羚羊跳了（次），所以，第一个掉进陷阱的是袋鼠，此时羚羊跳了（米）。

两个数的最大公因数与最小公倍数是解决关于公因数和公倍数的根本，而且二者的乘积就是这两个数的乘积。