韩智明

[摘  要] 落实学科核心素养，其中课堂是必不可少的阵地，教师是课堂教学活动的主导者，需要利用各种教学手段和方法营造鲜活、灵动的课堂氛围，让学生主动参与活动，感受数学活动中知识的发生过程，提升自己的学科素养.

[关键词] 核心素养;探究;课堂

如何在课堂教学中落实数学核心素养，是当前数学教育的一个热门话题. 而今几乎每篇数学文章、每个数学教学设计或数学公开课等都要冠以数学核心素养的字样，它显然是表示数学活动是否“高大上”的一个重要衡量指标. 其实落实核心素养并不是“雾里看花”或“水中望月”，更不是不接地气的“空中楼阁”. 教学实践表明核心素养是实实在在的，是看得见摸得着的，它需要我们在了解学生已有知识、经验和技能的基础上，坚持以落实“四基”和提升“四能”为终极目标，在教学活动中努力实现数学知识的本原性问题（促使一个概念、一个原理、一门理论产生的那些原始问题）和派生性问题（在该知识理论发展过程中派生出来的与自然科学没有直接关系的问题）的完美呈现，达成学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考问题、用数学的语言诠释世界的一种境界.

笔者在一道求圆锥曲线离心率习题的课堂教学活动中，基于学生现有的认知结构，展开教学联想和启发探究，逐步通过顺应同化的方式建立学生新的认知结构，在培养学生的数学核心素养，建构学生数学思维体系收到了流畅、良好的效果.

[⇩] 课堂呈现

笔者在2021年的高三复习备考中，发现一道有关求圆锥曲线离心率的选择题，也许广大师生觉得求圆锥曲线离心率应该是一个老生常谈的问题，无外乎通过圆锥曲线定义、几何法或代点法进行处理，最终找到a，b，c的齐次方程即可求解. 笔者和学生一起解答下面这道题时，在学生已有知识和经验的基础上通过思维联想和微探究活动，让学生的数学思维得到了很好的训练.

试题 如图1所示，设F，F分别是双曲线C：-=1的左、右焦点，P是双曲线C右支上的点，射线PT平分∠FPF，过原点O作PT的平行线交PF于点M. 若

FF

=5

MP

，则双曲线C的离心率为（    ）

A.    B. 2

C. D.

解法1：设双曲线C的右顶点为A，考察特殊情形：当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即PM→a，特别地，当P和A重合时，PM=a. 由MP=

F

F=，即a=，因此离心率e==，故答案为A.

解法2：如图1所示，设∠FPF的平分线交x轴于点T，设

PF=m，

PF=n，则m-n=2a，又MP=

F

F=，由OM∥PT得=，即=，则

FT=，所以

FT=2c-.又PT是∠FPF的平分线，由角平分线的性质得=，即=，化简整理得m-2a=m-c，即=. 所以双曲线C的离心率为，故答案为A.

以上两种解法是参考答案给出的方法，解法1利用了特殊情况，通过极限思想刻画其極端情况，不失是一种巧妙的解法，对于选择题当然适用，但在做解答题时终究难登大雅之堂;解法2通过平行线或相似三角形和角平分线的性质构造线段成比例，结合双曲线的定义消去两个未知数得到a，c的齐次关系式，从而求解. 此解法看似思路清晰，过程也不难懂，但其实里面包含了学生很多知识盲点和思维不达的高度. 笔者觉得至少有两个地方学生的思维是难以突破的，第一是相似三角形中平行线分线段成比例属于平面几何知识，学生运用不熟练;第二是三角形内角平分线的性质，学生几乎不知道，更不能运用，加上很多变量难以消除. 从测试后的结果表明，整个年级的学生几乎都不会通过适当的方法解决此道习题，答错率很高.

这道习题真是难题吗？笔者通过对此题构题的分析，从题源和命题人的初衷思考，不得不感慨命题人独具匠心和变式思想，于是就有了笔者和学生的解题联想和微探究课堂.

当学生看到这两种解法后，课堂上一阵唏嘘声……

教师：同学们！从上面的两种解法来看，第一种解法通过特殊性处理求解是可以接受的，但是第二种解法很难有同学想得到，此解法要求我们对平面几何知识很熟悉，要求很高. 此题还有其他我们容易掌握和理解的解法吗？在给出其他解法之前，让我们先看看下面这道习题：

题1：设F，F分别是双曲线C：-=1的左、右焦点，如图2所示，点P是双曲线C右支上的点，射线PT平分∠FPF，过点F作PT的垂线交PT于T，求点T的轨迹方程.

教师：这是一道求点的轨迹方程的习题，大家首先要想到求点的轨迹方程的方法——直接法、定义法、相关点法、参数法及交轨法，但对照此题发现解题思路不是很明朗.

生1：通过分析，求解此题可以排除直接法、相关点法、参数法及交轨法，最后只能用定义法解决，因为它是在双曲线上，应该和双曲线的定义和性质有关，题中既有角平分线又有垂直线，应该可以构造某种图形进行处理.

教师：分析得很有道理，我们在初中学习时遇到过当角平分线和高同时存在时，运用的解题策略和方法是什么？你会联想到什么呢？

生2：“三线合一”，如图3所示，可以延长FT交PF的延长线于点E，连接OT，就得到一个等腰三角形PFE，点T是FE的中点，就可以把PF的长转化为PE的长. 利用双曲线的定义得

PF-

PF=PE-

PF=

FE=2a，又OT是△FEF的中位线，所以TO=

FE=a. 由圆的定义即可得到点T的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，即x2+y2=a2.

通过学2的分析，可以看出学生已经掌握了相关的解题方法和思路，已经具备了相应的知识结构，这时就要对学生已经具备的知识进行迁移，去获得更高级别的知识和解决更高层次的问题了.

教师：非常好！学2的思路清晰，充分利用题设条件构造了等腰三角形，最后通过定义法求出了点的轨迹. 此题是以双曲线为背景的，我们不妨合理猜想和探究一下，当题设背景是椭圆时，我们能得到同样的问题吗？

（3分钟后）

生3：我通过尝试直接把题1中的双曲线改成椭圆，发现结论不能成立.

生4：如果仅仅把条件中的双曲线改成椭圆是不够的，椭圆的定义和双曲线的定义不同，构造的三角形得到的两边之差不能代替椭圆中的两边之和，所以要根据椭圆的特征进行条件改动，也就是题设中的内角平分线要改成外角平分线.

教师：分析得很有道理！按照这个变换思路我们给出题2：

题2：设F，F分别是椭圆C：+=1的左、右焦点，如图4所示，点P是椭圆C上一点，射线PT是△FPF的外角平分线，过点F作PT的垂线交PT于T，求点T的轨迹方程.

生5：通过题1的思路，同理得到图5，即延长FT交FP的延长线于点E，连接OT，得到一个等腰三角形PFE，点T是FE的中点，就可以把PF的长转化为PE的长. 利用椭圆的定义得

PF+

PF=PE+

PF=

FE=2a. 又OT是△FEF的中位线，所以TO=

FE=a. 由圆的定义即可得到点T的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆，即x2+y2=a2.

教师：通过对这两道习题的解题分析和变式练习，我想同学们应该明白和理解我为什么要大家先做这两道习题的良苦用心了吧！它们应该和我们这次测试的这道题有非常紧密的关系，我们应该可以通过题1、题2的解答思路解决这道试题了. 下面大家一起回到这道试题上来！

在解题活动中，当学生面临一个陌生的数学问题时，甚至当学生对要解决的数学问题毫无思路时，作为教师绝对不能填鸭式地灌输解题方法，而是要先从学生已有的知识结构出发，丰富和发展学生的知识结构，构建新的知识结构，通过展示同学生已有的知识结构相匹配的数学问题来积累和丰富学生的解题经验和水平，从而启发并展开学生丰富的联想，探究更高层次的数学问题. 当我们正要去解决一个数学问题时，要有一个充分的解题准备. 正如著名数学家波利亚在《怎样解题》中说道：“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此相关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？”因此，解题时我们要重现过去在数学活动中的某些思维过程，解题活动其实就是解决和探究数学问题时思维过程的一个总结. 当解题活动结束时，回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了以往的一个过程.

教师：我们首先看一看题1和这道试题有什么联系，仔细联想一下它们的相似之处.

（4分钟后）

生6：解决完题1和题2后，我感觉此道试题的解决思路就打开了，很明显此道试题就是题1的变式题，题设条件一样，就是设问有所不同. 如图6所示，可以得到如下的解析：

过点F作FN⊥PT交PT于点N，交PF于点A，连接ON，于是得到一个等腰三角形PAF，点N为FA的中点，就可以把PF的长转化为PA的长. 利用双曲线的定义得

PF-

PF=

PF-PA=

AF=2a. 又ON是△FAF的中位线，所以NO=

AF=a. 又ON∥PM，OM∥PN，所以四边形ONPM是平行四边形，所以ON=MP，即a=c，即e=，故答案为A.

教师：非常好！思路清晰，简洁明了，真正运用联想漂亮地解决了此题.

生7：刚才生6是在题1的解答思维的基础上做的调整，是过点F作的垂线，其实过点F仿照题1的解答思路同样可以解决. 如图7所示，可以得到下面的解析：

过点F作FN⊥PT交PT于点N，交PF的延长线于点A，连接ON，得到一个等腰三角形PAF，点N即为FA的中点，就可以把PF的长转化为PA的长. 利用双曲线的定义得

PF-

PF=PA-

PF=

AF=2a，又ON是△FAF的中位线，所以ON=

AF=a.又ON∥PA，OM∥PN，∠FPN=∠APN，∠APN=∠ONP，所以∠FPN=∠ONP，所以四边形ONPM是等腰梯形，所以ON=MP，即a=c，即e=，故答案为A.

教师：生6和生7的解答思路基本相同，都是在题1和题2的解答思路启发的基础上展开的类比和联想，所以在今后的解题活动中，我们要积累解题经验，发现隐藏在习题中的本原性知识，通过循序渐进的方式融入我们的知识结构，产生新的派生性知识.

丰富的联想让学生思维活跃，学生尝试运用类比、联想的思维方法解决他们的问题，尝到了解题成功的喜悦，于是笔者决定将课堂探究活动进行到底.

教师：同学们！很高兴在我们共同努力下解决了一道选择难题，仿照题1和题2，我们在联想的基础上继续进行探究活动，也就是把双曲线改换成椭圆，情况会怎么样呢？

（5分钟后）

生8：类比前面，我们同样可以生成另一个习题.

教师：生8说得很好！我們可以联想前面的题2生成一道以椭圆为背景的试题. 仔细观察一下，首先要改动选项中离心率的取值，我们不妨先按照题设条件做一做，然后再根据结果进行变式.

题3：如图8所示，设F，F分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是椭圆上的点，延长F1P到D，射线PT平分∠DPF，过原点O作PT的平行线交PF于点M. 若

FF

=5

MP

，则椭圆的离心率为（    ）

A. B. 2

C. D.

解析：和题2的解答思路相同，过点F作FN⊥PT交PT于点N，交FP的延长线于点A，连接ON，得到一个等腰三角形PAF，点N即为FA的中点，就可以把PF的长转化为PA的长. 利用椭圆的定义得

PF+

PF=

PF+PA=

AF=2a. 又ON是△FAF的中位线，可得NO=

AF=a. 又四边形ONPM是平行四边形，所以ON=MP，即a=c，即e=.

（看完解析后，学生在下面议论纷纷，讨论氛围很热烈）

生9：从计算的结果来看，这种改编有几处地方不妥，首先是选项的值不对，都应该在0到1之间;线段FF和MP的数量关系应该也要进行改动.

教师：分析得很有道理，我们就按照生9的想法把此题改编成下面的题4.

题4：如图8所示，设F，F分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是椭圆上的点，延长F1P到D，射线PT平分∠DPF，过原点O作PT的平行线交PF于点M. 若

FF

=

MP

，则椭圆的离心率为（    ）

A. B.

C. D.

教师：这样的话，我想解析的过程就不用再赘述了，只是后面数量关系发生了变化，即ON=MP=

F

F，即a=c，即e=，故答案为A. 当然，类比双曲线时的情形，我们同样可以用另外的方法求解此题：

如图9所示，过点F作FN⊥PT交PT于点N，交FP的延长线于点A，连接ON交PF于点B，得到一个等腰三角形PAF，点N即为FA的中点，就可以把PF的长转化为PA的长. 利用椭圆的定义得

PF+

PF=

PF+PA=

AF=2a，又ON是△FAF的中位线，所以NO=

AF=a. 又ON∥PA，OM∥PN，∠FPN=∠APN，∠APN=∠ONP，所以∠FPN=∠ONP，所以△PBN是等腰三角形，同理可得△BOM也是等腰三角形. 所以

BP

=

NB

，

BM

=

BO

，所以

BP

+

BM

=

NB

+

BO

，即ON=MP，即a=c，即e=，故答案为A.

生10：一道小题（选择题）蕴含了大思想（联想、类比和探究），一个知识点（求离心率）彰显了好方法（构造、推理和变式）. 普通的习题，自然的联想，经典的变式，解题思想明确，方法更是那么熟悉，这堂课把此题真是剖析得淋漓尽致. （此时学生都报以热烈的掌声！）

[⇩] 课堂反思

新课标指出，数学课程的目标首先要求学生在学习数学的过程中掌握数学“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验;其次是在应用数学的过程中提高“四能”，即从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，进而在学习数学和应用数学这两个过程中发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，最后才能够达到“三会”，即会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界.

培养数学学科核心素养的具体实施策略主要是通过数学学科教学活动来实现的，课堂教学活动应该是培养数学学科核心素养的主要阵地. 然而课堂教学的价值取向是什么？是每次不折不扣地完成既定的教学内容，以教学计划为框架、以教学内容为载体动态地调控课堂的走向. 后现代教学理念认为，“教学活动的过程主要是学生主动学习和建构的过程”. 建构主义认为，“学习是在教师指导下的，以学生为中心的学习，教师是意义建构的帮助者、促进者，学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者”. 新课标强调以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现，强调学生对知识意义的主动构建，本堂课笔者正是以此为指导思想来展开数学解题的联想、类比和探究活动的.

教育家乌申斯基说：“没有丝毫兴趣的强制学习，会扼杀学生探求真理的欲望，兴趣是学习的重要动力，也是最好的老师！”课堂上，教师准确把握和利用学生的基础知识和基本活动经验是进行有效教学活动的前提，先以一道选择题的解法拉开数学活动的序幕，通过启发和引导学生在已有认知水平的基础上不断纳入和构建新的更高一级的认知结构，创设知识情境，环环相扣，层次分明地形成”思维链“，通过组织、开展师生互动活动让师生的思维撞击并产生灵动的火花. 教师在活动中参与指导评价，调控课堂进程，通过知识联想、方法类比、变式探究的形式激发学生的联想和探究兴趣、思维，学生在思考、交流、解决问题的过程中不断挑战、质疑、更新认识，实现自我探究、突破、评价、总结，促成教与学交互生成、发展，学生在整个课堂中身心愉悦地置身于教学活动中的主体地位，感受数学学习成功与进步的快乐，

整个课堂教学活动不断进行习题变式和组织，让学生敢于创新和勇于实践，而数学核心素养的培养主要就是围绕着创新能力和实践能力来进行的，发现和提出问题是创新意识的核心，分析和解决问题是實践能力的表现. 联想和微探究活动是贯穿整个课堂的内容主线，学生在教师的指导下自主探究、回答交流，呈现不同观点交锋，质疑、引导、补充、修正，多角度分析问题，深化理解问题. 在教学过程中教师不仅要关注如何帮助学生学会知识、技能、思想、方法，更要关注如何引导学生会学习、会思考、会应用.

于无声中育人，于无形中塑人，活跃灵动的课堂有助于树立学生敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，充满理性思维的联想和微探究活动有助于学生不断提升数学实践能力和数学创新能力，从而使学生真正认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.