曹丽丽

[摘 要]“表面涂色的正方体”属于数学综合实践的教学内容。数学综合实践活动课以学生生活经验为背景，以现实问题为载体，让学生动手实践、自主探究，从而发现、归纳、总结数学规律，发展自身的表象、具象和抽象思维能力，形成数学核心素养。

[关键词]表象思维;具象思维;抽象思维;表面涂色;正方体

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）05-0072-03

钟启泉教授认为，教育的本质在于人的成长，成长的主旨是更为优质的经验的重建。“表面涂色的正方体”属于数学综合实践的教学内容。数学综合实践活动课以学生生活经验为背景，以现实问题为载体，让学生动手实践、自主探究，从而发现、归纳、总结数学规律，发展自身的表象、具象和抽象思维能力，形成数学核心素养。

课程标准增设了“实践与综合应用”的内容。数学综合实践活动课是学生在教师的指导下，以现实问题为载体和背景，在原有的数学基础上，以自主探究为基本形式，去发现、归纳、总结数学规律，培养独立思考能力和解题能力的课程。这种课程的内容和形式是数学课程改革的一个突破点，也是一个亮点，同时也给教师提出了一个可研究的课题。笔者以苏教版数学教材六年级上册第一单元“表面涂色的正方体”教学为例，浅谈如何让学生的思维从表象到具象再到抽象。

一、从生活情境出发，帮助学生建立表象思维

表象是经过感知的客观事物在头脑中再现的形象。表象不仅仅是一种映象，还是一种操作，心理操作以表象的形式进行，即表象思维。从信息加工的角度来讲，表象是当前不存在的物体或事件的一种知识表征，这种表征具有鲜明的形象性。小学生的表象思维从建立具体直观的形象开始，所以笔者在导入环节采用“给面包涂番茄酱”的具体情境，初步建立涂色正方体的生活表象。

【镜头1：想吃涂上更多番茄酱的面包】

师：同学们，你们喜欢吃面包吗？周末，我在家做了一个面包（出示图片），为了增加它的口感，我在它的表面涂了一层番茄酱，然后切成小块（课件演示）。我特别喜欢吃番茄酱，你们建议我选择哪块面包呢？

（在一块面包表面涂上番茄酱，把学生引入生活情境，激起他们的已有经验。学生借助情境很快找到了自我学习的“舒适区”。学生发现涂上番茄酱的面包被切成小块后，每小块面包表面涂到番茄酱的情况是不一样的：有的涂到了，有的没有涂到;有的虽然涂到了，但是涂到的番茄酱的量不同）

师：究竟哪些面包块涂到的番茄酱多？哪些面包块涂到的番茄酱少呢？让我们一起带着这个问题开启今天的学习之旅吧！（板书：表面涂色的正方体）

【分析】

学生对在面包表面涂番茄酱这个举动有切身体会，能直观感受到这个现实情境，迫切想解决这一重要问题，对本节课内容的学习兴趣和探究热情一下子被点燃。这说明从学生熟悉的生活问题出发，从直观情境入手，能让学生形成丰富的表象经验，增强学生数学学习的自信心。表象思维是创造性思维的起点，表象思维的形成取决于右脑的开发。用给面包表面涂上番茄酱，再切成面包小块这一连续性动作，帮助学生从整体上把握事件发生的顺序，促进右脑表象思维能力的发展。

二、用实践操作探究，帮助学生建立具象思维

具象思维指具体形象思维，是人们在思维过程中自觉或不自觉地使用着的某种思想方法。刘天君教授认为，具象思维是个体对其意识中的物象资料进行有目的的加工（构建、运演、判别）的操作活动。具象思维具有科学性、具象性、创造性和完整性等特点。笔者设计了“拆一拆”“合一合”“看一看”三个环节帮助学生积累数学活动经验，让他们从表象思维走向具象思维。弗赖登塔尔强调，应该让儿童玩直观的教学材料，他们喜欢玩多久就让他们玩多久，只要能熟练地掌握，材料越复杂，他们获得的知识就越多。

【镜头2：拆一拆，将表面涂色的情况分类】

1.动画演示。笔者出示一个正方体木块图片，动画演示给它的表面涂上红色，并将每条棱三等分切开。让学生观察、思考：这个正方体发生了怎样的变化？

2.提供学具。笔者为每个小组准备了一个特殊的魔方，它的六个面被涂上了红色，每条棱被三等分，可以合并在一起，也可以全部拆分开。

3.操作实践。笔者让学生探究这个魔方一共可以分成多少个小正方体？每个小正方体的6个面会不会都被涂上红色？如果不是，每个小正方体的表面有几个面涂有红色？

4.小组讨论。笔者让学生在小组内试着操作拆分魔方，边拆边观察思考，再交流讨论上面提出的问题。之后请学生上台汇报，边汇报边演示课件。

【分析】

学生把魔方全部拆分开，很快发现，一共可以分成3×3×3=27（个）小正方体，有些小正方体的3个面涂有红色，有些小正方体的2个面涂有红色，有些小正方体的1个面涂有红色，还有的小正方体的表面没有涂色，情况一共可以分为四类。

【镜头3：合一合，探究涂色的小正方体的位置】

1.问题引领。这个神奇的魔方既可以拆分，也可以合起來。笔者请学生将它还原成原来的样子，在合并的过程中观察、思考：3面涂色、2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方体应该在大正方体的什么位置？

2.操作实践。学生小组合作，将这27个小正方体还原成魔方。

3.展示交流。学生上台展示成果，笔者板书：顶点处、棱的中间、面的中间、中心。

【分析】

探索3面、2面、1面涂色的小正方体的位置并不难，这一活动主要让学生自己借助学具仔细观察，为后面个数的探索做好准备。学生在动手操作的过程中感悟到：可以从中心没有涂色的小正方体开始思考，也可以从一条棱开始合并，还可以一个面一个面还原，方法多样，思路巧妙。学生一边动手实践，一边观察各小正方体的位置，逐步体悟这27个小正方体的分类以及几面涂色与位置的关系。让学生明确3面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，2面涂色的小正方体在大正方体每条棱的中间，1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间，0面涂色的小正方体在大正方体的中心，此过程能帮助学生积累数学活动经验，发展具象思维。

【镜头4：看一看，找涂色的小正方体的特征】

1.思考特征。通过刚才“拆”“合”的过程，请学生思考：涂色的小正方体的个数和位置有什么特征？

2.小组讨论。学生先独立思考，然后小组讨论交流。

3.全班反馈。大正方体的棱平均分成3份，分成的小正方体的总个数为33=27（个），其中有3面涂色的小正方体有8个，有2面涂色的小正方体有1×12=12（个），有1面涂色的小正方体有1×6=6（个），0面涂色的小正方体有1个。

【分析】

学生喜爱动手实践，在动手实践之后有了具体数学经验，他们积极参与，发现不同涂色面小正方体的个数与它所在的大正方体位置有关。根据小正方体在大正方体中所处的位置，学生算出有3面、2面、1面、0面涂色的小正方体的个数。学生的思维建立在表象之上，听到了思维“拔节”的声音。

三、以丰富的联想推理，帮助学生建立抽象思维

抽象思维是在概念中反映事物的本质。它在对事物进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，使人对事物的认识从感性的具象过渡到抽象。弗赖登塔尔认为，学习数学的方法之一是实行“再创造”。教学时，要让学生在“试一试”“举一举”“说一说”中发现规律，建构初步的抽象思维。

【镜头5：探究涂色小正方体的规律】

1.试一试。请学生试一试能否解决更多的表面涂色的正方体问题。把一个正方体的每条棱平均分成4份、5份……再切成同样大的小正方体，这些小正方体的数量和涂色面的情况如何？展开联想，进行分析，填写表格。若填写表格的过程中遇到困难，可与同学交流、观察模型或课件演示。

2.举一举。自己试举一例，填写表格。

3.说一说。每位学生说自己发现了什么规律，总结表面涂色小正方体的规律。

[大正方体的棱平均分的份数 3 4 5 … n 分成的小正方体的总个数 27 64 125 … n3 3面涂色的小正方体个数 8 8 8 … 8 2面涂色的小正方体个数 12 24 36 … 12（n-2） 1面涂色的小正方体个数 6 24 54 … 6（n-2）2 0面涂色的小正方体个数 1 8 27 … （n-2）3 ]

【分析】

学生从三等分棱长的情况出发，算出3面、2面、1面、0面涂色的小正方体的个数，从做到看，从看到数，进一步发现四等分、五等分棱长后小正方体涂色的个数，再自己举例，又从数到算，进而找出3面、2面、1面、0面涂色的小正方体的个数与顶点、棱长平均分的份数、面数之间的关系，发现表面涂色小正方体的规律。

【镜头6：玩转魔方，课后延展新知】

魔方也是一种表面涂色的正方体，玩转魔方需要熟练掌握表面涂色的正方体中隐藏的规律，课后全班举行一场“魔方大比拼”。让学生感受数学在我们的生活中随处可见，让我们一起走近生活，感受数学的神奇吧！

【分析】

学习不局限于课堂，也不局限于学习当堂课的知识，应该让学生用课上学习到的方法来探索新知，用喜欢的方式来延续对学习的兴趣，这样可以使课堂教学有延展性，让数学知识延伸到学生的日常生活中。

运用数学综合实践课发展学生的思维能力，要实现从形象思维、具象思维到抽象思维三步跨越，具体表现有以下几点。

第一，从现象到本质，发现内在关系。“表面涂色的正方体”是苏教版教材六年级上册第一单元“长方体和正方体”后的一节综合实践活动课。本课是建立在学生对长方体和正方体的知识有了全面的理解和掌握的基础上的，笔者借助番茄酱涂面包的情境，让学生动手实践、观察发现、自主探索、感知规律，将一个表面涂色的正方体的棱长三、四、五……等分后，算出3面、2面、1面、0面涂色的小正方体的个数，发现其中隐含的数学关系，并用字母和数字表示出相应的关系，发展学生的数学思维能力和空间观念。

第二，从特殊到一般，动手探索数学规律。对于六年级的学生来说，虽然他们已经积累了一定的空间想象力和抽象思维能力，但是想象将一个表面涂色的正方体沿着棱等分，并算出各情况的小正方体的个数，算出3面、2面、1面和0面涂色的小正方体的个数还是有一定难度的。教学中，笔者以将棱长三等分后表面涂色的正方体为例，学生通过对魔方的观察和“分合”的操作，很快发现拆分后的小正方体分别有3面、2面、1面、0面的涂色情况，再探究每个小正方体在大正方体中的位置，这符合学生的认知特点。在此基础上，筆者放手让学生分析将棱长四等分、五等分时的情况，并举例试一试，让学生感知到一般规律。将学生自主探索的内容汇总到表格中，横向、纵向比较发现数据内在的规律，建构数学模型。

第三，从实践到理论，感悟数学思想。在学生思维生长的过程中，笔者设计了详细的教学流程，“拆一拆”“合一合”“看一看”从实践出发，是基础经验，也是学生思维生长的“锚”。“试一试”“举一举”“说一说”以表达为重，让学生在交流中发现内在规律，在归纳中建构数学模型。学生经历了知识的形成过程，再次回到问题的解决中去，会感受到数学规律的探索对解决实际问题的帮助，激发对数学学习的热情。数学思想的发展是以活动为载体，在问题引领的基础上进行的。数学综合实践课还要体现出有趣、好玩的特点，让学生充分感受数学之美、数学之趣，从而真正喜欢数学。课堂的最后，笔者再次将本节课内容拓展到课外，让学生走近生活，感受数学的神奇。

（责编 黄 露）