何向前 乔豪学

（1.武汉外国语学校 湖北·武汉 430022；2.武汉大学物理科学与技术学院 湖北·武汉 430072）

国内无论是中学物理课、大学普通物理课、还是物理学专业的量子力学，教学中都会涉及不确定关系，其中位置和动量之间的不确定关系理解较为一致，但对能量和时间的不确定关系还有不同的理解，有必要加以讨论并澄清。首先，不确定关系是微观系统不确定性的表现，是粒子波粒二象性的必然结果，是粒子的基本属性，虽然需要经过测量才能表现出来，但属性本身与测量无关。二十世纪九十年代以前的不少教科书，将不确定关系称之为测不准关系，读者容易误解为不确定关系并不是粒子的基本属性，而是与测量有关的一种观测效应，之后的教科书大多称不确定关系。尤其是不确定度的理解，并非单次测量精度，而是测量值分布的弥散度，用测量值对平均值的偏移来表示，数学表达即标准差，也在本文予以澄清。

1 基于高斯型波包的能量与时间不确定关系

海森堡(Heisenberg)于1927年对高斯型波包的分析[1]，得出位置和动量的不确定关系为

可以用如下简单的数学推导就可得到上述关系式，对于最小不确定度波包

基于傅里叶变换，一对共轭量的不确定度必然会出现类似的关系，这是纯粹数学的结论，并不需要物理上做出新的约定[2]。不确定度的含义，并不是测量值的标准差，而是系统可观测量可能取值对平均值的偏离，从波恩统计解释出发，不确定度就是系统可能取值的标准差。这么引入不确定关系看似没有任何问题，然而坐标和动量都是可观测量，可以视为一对共轭物理量；而量子力学理论框架下，能量是一个可观测量，可以用哈密顿算符表示，但时间并不是一个可观测量，二者并不能视为一对共轭物理量，从而在物理解释上会带来困难。如(3)式可以理解为粒子在任意运动状态下，坐标和动量的不确定度乘积的下限是。(4)式按相似的方式，是否可以理解为时间和能量不确定度乘积的下限是？答案是否定的，由于时间不是可观测量，时间不确定度的物理意义模糊。

当然对于不确定关系的理解，从一开始的分歧走向统一认识也有个过程。在不确定关系提出之初，由于提出的过程可以完全基于数学，即与波性分布有关的任意一对共轭物理量都具有不确定关系。所以海森堡早期对不确定关系的理解是建立在测量基础上的，即测量一个量必然影响另一个量，这种相互制约导致不确定关系的出现。比如一个假象实验，用测量一个粒子的位置涉及尺度测量的精度，最合适的办法利用光子的散射，散射依赖于波长和散射靶的尺度，从而实现高精度位置测量。但由于光子具有动量，康普顿散射实验也证明了爱因斯坦光子动量预言的正确性。从而散射过程的动量交换，必然导致被测粒子动量的变化。要提高测量精度，必须使用波长尽量短的光子，根据德布罗意假设，波长短的光子动量必然大，光子和被测粒子之间的动量交换会变大，导致电子的动量发生更大的变化。因此从测量上来讲，粒子位置的测量精度必然会影响粒子动量的测量精度，数学形式和物理解释并不矛盾，但这样理解就跟量子力学没有必然联系。这里将一个物理量的不确定度理解为测量精度，海森堡提出的各种论据也并不把不确定度理解为单次测量精度，而是认为单次测量值会形成一个分布，测量值对平均值的偏离为不确定度。这样理解不确定度会与上述不确定关系的理解不能融合。这里引入量子力学的基本假设，即对物理量的测量，得到的返回结果，只可能是该力学量本征值中的一个。比如斯特恩-盖拉赫实验就证明了这一点，对原子磁矩在某一方向上分量的测量结果，总是的整数倍，而不可能是其它值。因此量子力学的不确定度是表示测量结果对平均值的偏移，数学上就可以用标准差来表示。如此理解不确定都，不确定关系就不能叫测不准原理，因为不确定关系与单词测量精度没有任何关系。那么不确定性关系的根源，在与粒子的波粒二象性所导致的力学量取值不完全确定性。不确定关系，表示的是任意两个物理量的测量结果对平均值偏移的关系。两个力学量不确定度之间的关系，取决于两个力学量算符之间的对易关系。这样不确定关系就可以由量子力学理论导出。不确定关系本质上是物理量可能取值之离散程度之间的联系。量子力学上，对一个物理量的测量会得到一个结果，这个结果可以表示为一个实数，通常将这样的物理量叫可观测量，跟力学量意思等同。

2 基于量子跃迁的能量与时间不确定关系

另一种引入能量与时间不确定的方法是基于量子跃迁[3]，即在时间t=0时刻加上一个微扰，则系统时刻跃迁到末态的能量分布宽度为，用含时微扰论可得到

若坚持不确定关系是系统本身的属性，(5)式作为能量与时间的不确定关系并不恰当，因为并不是系统在微扰作用下的能量不确定度，只是在无微扰下系统本征态之间的间隔，并不真正反映微扰作用下系统的性质。虽然 (5)式可以用来解释能级宽度和能级寿命之间的关系，但其它文献也认为这不是真正的能量与时间不确定关系[4][5]。

3 基于算符对易子的能量与时间不确定关系

罗伯逊(Roberson)于1929年基于算符对易关系导出了不确定关系[6]，这也是现今教科书采用最广泛的理论推导。若两可观测量可用算符和描述，且两算符的对易子为，在描述的量子态下，两可观测量的期望值为

两可观测量的不确定度定义为标准差

则不确定关系为

这个表达式是基于算符理论导出的，推导在数学上是严格的，反映了两个不对易的算符所描述的可观测量，其不确定度之间的关系。坐标与动量不确定关系可作为(8)式的特例自然给出。因为，根据(8)式可以得到。仿照坐标与动量不确定关系，对任意状态波函数有

为解决能量时间不确定度的来源，我们约定对于一个不显含时间的可观测量可用算符表示，则该可观测量期望值随时间的变化为[7]

则可导出如 (4)式的能量与时间不确定关系[8]，即。这里的可以理解为系统可观测量期望值演化的特征时间，它表征系统演化的快慢。可观测量可以任意选择，都能得到同样的不确定关系。教科书采用这种推导，逻辑上自洽且比较好理解[5-8]。

4 能量与时间不确定关系的理解

首先需要明确，在量子力学理论框架下，时间具有特殊性，它与坐标和动量等经典力学量的本质区别，在于它不是可观测量。时间的这种特殊性质，来源于量子力学的基本假设，即薛定谔方程所赋予的特殊地位。薛定谔方程直接规定了时间在任何表象都是一个参量，而不能像其它可观测量用算符表示。而不确定关系是两个可观测量之间的内在联系，是波粒二象性的必然表现。既然时间不是可观测量，所以并不存在严格意义上的能量与时间不确定关系。对于关系式中的理解，需要重新审视时间到底是什么。牛顿力学中，时间和空间都是独立与物质运动的，时间是绝对的、真实的、数学的时间，与任何外界事物无关地均匀流逝，这种理解符合我们基于日常生活经验的物理直觉。在狭义相对论理论基础上，时间是物质的存在形式，时空与物质的运动有关。而薛定谔方程是非相对论的，非相对论量子力学里面，薛定谔方程本身赋予了时间以特殊的地位，也决定了时间不同于位置和动量这些可观测量。那么如何理解对时间的测量？测量时间实际上测量的是某一可观测量的变化；即以某个可观测量的变化为标准，衡量其它可观测量的变化，才产生了定量化的时间定义。即时间不再是一个可观测量，它只是可观测量变化的一种标准。所以(12)式中的，并不是真正意义上时间测量结果的不确定度；而是以期望随时间的变化率作为时间标准，给出的实际上是可观测量不确定度的变化。由(12)式可以看出，本质上是可观测量标准差的一种表现。因此，能量时间不确定关系，本质上是任意与哈密顿算符不对易的可观测量与能量之间不确定关系的等效表达式。能量时间不确定关系，只是任意可观测量和能量不确定关系的变形，这也许才是能量与时间不确定度的准确含义。

综上所述，可以得到简单明确的结论：一、不确定关系是粒子波粒二象性的必然结果，它由可观测量算符直接导出，描述两个可观测量之间的内在联系；二、时间不是可观测量，它在任意表象下都是一个数，而不能用算符表示，所以不存在本征值谱和本征函数组，当然就不存在严格意义上的能量与时间的不确定关系，不确定关系只存在于可观测量之间；三、教科书中出现的能量时间不确定关系式，在数学上仍然成立，它是任意可观测量与能量不确定关系式，即的等价表示。