杨姣 林佳裕

【摘 要】 在新课标视角下，本文以三个版本教材“圆锥曲线”章节的习题作为研究对象，从习题的数量、数学核心素养及水平、数学文化、综合难度四个方面进行比较研究.结果显示：北师大版和湘教版习题总数基本持平，人教版习题总数偏少;三个版本教材的习题均侧重于直观想象和数学运算的培养，湘教版的习题核心素养水平分布最广;湘教版教材习题与数学文化的结合度最高，人教版次之，北师大版则更为关注纯数学背景的习题;三个版本教材的习题综合难度因素各有侧重.

【关键词】 新课标;圆锥曲线;核心素养;比较研究

1 研究背景

在十九大报告精神的的指引下，国家教育部出台了《普通教育高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《新课标》）[1]，各地因地制宜相繼出版了多个版本的数学教材.数学教材作为数学学科知识的主要载体，是学生获取数学概念、理解数学逻辑定理、培养数学能力、发展数学核心素养的重要资源.习题是教材的重要组成部分，能更好地巩固和深化课堂教学内容，是学生发展学科核心素养的重要平台. “双减”政策背景下，教师需要树立良好的作业观[2]，把握不同教材章节习题的共性和差异，对教学做融合设计.

“圆锥曲线”章节包含椭圆、双曲线、抛物线，与人类生产生活、科学研究有着密切的联系，是高中数学学科内容的重要组成部分，也是历年来考试评价重点考查的内容之一.研究“圆锥曲线”的习题，助力培养学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等关键能力.

2 研究设计

2.1 研究对象

在“一标多本”的情况下，不同版本教材在课标体现方式与编写风格等方面存在一定的差异，因此选取2019年人民教育出版社出版的《普通高中教科书数学选择性第一册（A版）》（以下简称人教版）、2019年湖南教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学选择性必修第一册（以下简称湘教版）、2019年北京师范大学出版社出版的普通高中教科书数学选择性必修第一册（以下简称北师大版）“圆锥曲线”章节的例题、练习题、复习题作为研究对象.从习题的数量、数学核心素养及水平、数学文化、综合难度四个方面对三个版本教材“圆锥曲线”章节的习题开展比较研究.

2.2 习题的数量对比

此部分对三个版本教材习题的数量按分布类型进行统计.以1，2，3，…作为题目标号的习题作为统计对象.结果见图1.

图1 三个版本教材“圆锥曲线”习题的数量统计由图1可知，北师大版习题总数量最多，湘教版次之，人教版最少.三个版本教材的例题设置数量相差不大.但三个版本教材的习题数量均为对应例题的数量四倍左右，可见本章节需配套充足的练习题对学生的知识做进一步的巩固提升.2.3 习题的数学核心素养对比《新课标》[1]强调数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生需要通过系统的数学学科学习后逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.数学学科核心素养由：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个部分组成.通过对数学核心素养内涵的界定，本部分统计了三个版本教材“圆锥曲线”章节习题中所体现的数学核心素养类型，并依据喻平教授[3]的数学核心素养的评价框架，对纳入统计的数学核心素养水平进行划分.

研究说明：此部分研究基本假设每道题至少对应一种数学学科核心素养.由于数学学科核心素养是一个有机整体，所以针对含多个素养的习题，则选取具有代表性的素养作为研究依据，本章节习题不涉及数据分析核心素养，所以此处对该素养不作统计，统计结果见表1.对三个版本习题的各个核心素养所占百分比转换为统计图2.

由图2可知，三个版本教材“圆锥曲线”章节的习题都注重直观想象和数学运算核心素养能力的培养，对数学建模素养的关注相对薄弱.北师大版习题的数学运算素养占比最高，达到了89.84%.人教版习题的逻辑推理素养占比相对较高，占比27.27%.湘教版习题的数学抽象、数学建模和直观想象素养的占比相对较高.

三个版本教材的核心素养水平的统计结果见表2（编码方式：人教版R，北师大版B，湘教版X）.

由表2可知三个版本教材的大多数习题处于核心素养的第一级水平，说明教材注重学生对“圆锥曲线”部分的知识本质、类属和知识间联系等基础理论的掌握. 核心素养的第二级水平考查的是学生的知识迁移能力，北师大版和湘教版的习题素养水平在第二级中一样多，可见湘教版和北师大版的教材都注重学生知识迁移能力的多元化培养.人教版和北师大版本中没有处于核心素养的第三级水平，而湘教版有3道习题处在核心素养的第三水平，这表明湘教版习题为培养更高阶思维的学生提供了宽广的研究平台.

2.4 习题的数学文化对比

《新课标》指出数学文化应融入教学活动中.以习题的素材背景为载体，将数学文化融入到学习内容中，有利于激发学生阅读兴趣，感悟数学的内涵与外延，培养学生的科学精神.沈春辉[4]将数学文化分为数学史、数学与现实生活、数学与科学技术、数学与人文艺术. “圆锥曲线”有着悠久的研究历史，三个版本教材均在章节拓展阅读材料中对“圆锥曲线”的研究历史做出了简要介绍，三版教材均未涉及数学史背景的习题.所以此部分讨论习题中数学与现实生活、数学与科学技术、数学与人文艺术三个方面的应用，依据统计结果见图3.

由图3可知，湘教版教材数学文化应用最多，总数达到了21项，人教版次之，其应用数学文化背景的习题有14项，而北师大版仅含有9项.湘教版教材习题中除了天文学方面的习题背景外，还增添了农业水利灌溉、赛马场等文化背景素材，说明湘教版教材注重知识背景的多元化，展现出“圆锥曲线”与生活的密切联系，激发学生的学习兴趣.结合图 1、表1可知北师大版的习题数量虽位居三个版本之首，但与数学文化相关的习题素材最少，可见其较为关注与数学知识背景体系相关的题材.

2.5 习题的综合难度对比

借鉴鲍建生教授[5]的课程综合难度模型对纳入统计的三个版本教材“圆锥曲线”章节习题从探究、背景、运算、推理、知识含量五个因素进行综合难度分析.以人教版110道、北师大版128道、湘教版126道习题作为研究样本，对不同难度因素等级水平习题加权计算后得到表3.

由表3可得到图4通过图4可以看到三个版本教材的探究、知识含量、运算三个因素高于推理、背景两个因素，表明新课标指导下选择性必修课本注重基础知识的学习，探究活动的开展. 另外，三个版本教材最为注重知识含量因素，足见学生学好本章节的内容对自身数形结合、化归、函数与方程等数学思想的培养具有重要作用.人教版教材的探究和推理因素、北师大版的运算因素、湘教版的背景因素分别高于对应比较列，说明三个版本教材习题各有难度侧重，其中人教版更为注重使用信息技术辅助开展探究性学习.

3 研究结论及其启示

3.1 改善习题配比度

习题的数量方面，三个版本教材“圆锥曲线”章节的习题数量远高于例题数量;人教版的习题总数最少，北师大版和湘教版的习题总数基本持平. 在教学安排中，教师可以借鉴北师大版教材讲练结合的方式，在每个知识点背后配置一个例题进行知识点的运用示例，并在例题之后跟进两道左右的练习题作为强化练习，教师可适当选取教材中的部分习题作为例题补充讲解.

3.2 提升习题数学核心素养的分布广度

习题的数学核心素养方面，三个版本教材均注重直观想象素养和数学运算核心素养的培养，缺乏数学建模素养的关注;除数学运算素养外，湘教版习题的其他核心素养所占比例均高于人教版和北师大版.三个版本教材习题大多处于核心素养的第一级水平，人教版和北师大版习题未涉及核心素养的第三级水平，湘教版的习题素养水平分布最广.教师需要参考三个版本的配置习题，使所选习题对学生的数学学科核心素养得到更全面的考查，尤其增加拓展数学建模能力的题目，另外适度增加核心素养第三级水平的习题，引导知识创新，拓展学生的思维深度，方便具有高阶思维水平的学生得到锻炼.3.3 提升习题数学文化的应用程度

习题的数学文化方面，湘教版教材习题与数学文化的结合度最高，人教版次之，北师大版教材习题较为关注与数学知识背景体系相关的题材.教师在实际教学中可以适当添加与数学有关的人文艺术的题材，比如少数民族文化、国家级标志性建筑设计等，以发挥数学情景与文化情境相结合，增强文化自信;三个版本教材的习题未设计数学史方面的题材，教师可以借助习题拓展数学史，比如在章末复习题中设计一道关于但德林双球的题目，并借助几何画板或GGB等软件动态演示来验证学生计算结果，这样既能丰富题材背景，又能帮助学生更好地理解所学知识.

3.4 保证习题的难易程度

习题的综合难度方面，三个版本教材在探究、运算、知识含量因素方面所设计的题目最多，推理类题目设计基本一致.不同点是各版本对综合难度因素侧重有差别，人教版侧重探究、北师大版侧重于运算、湘教版侧重于背景.教师在做优化习题设计时可以依据学情，融合不同版本教材在章节间和章节末分别设置A，B，C三个梯度的习题.A组习题注重探究和知识含量因素，适度淡化数值运算.B组习题加入多样化背景元素，设置一定数量开放性习题.C组习题增加小组合作研究型题目.

參考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020：45.

[2] 刘权华.“双减”背景下数学教学应有的作业观[J].教学与管理，2021（31）：6466.

[3] 喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017，26（02）：1923.

[4] 沈春辉. 中法高中数学教材中的数学文化比较研究[D].上海：华东师范大学，2012.

[5] 鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望，2002，31（09）：4852.

作者简介 杨姣（1996—）女，汉族，四川会理人，硕士研究生;主要研究数学学科教学.林佳裕（1996—）女，汉族，广东梅州人，硕士研究生;主要研究数学学科教学.