陈文彬 李晓阳 童邦安 李云 康锐

摘要：基于可靠性科学原理，在确信可靠性理论框架下，提出了谐波齿轮传动效率确信可靠性建模与分析方法。考虑谐波齿轮传动过程中的功率损耗以及影响传动效率的多种外在因素，通过计算传动效率与其阈值之间的距离，构建传动效率裕量模型。开展多源不确定性分析与量化，构建传动效率确信可靠性模型。针对传动效率模型中的未知参数，给出了基于实测数据的极大似然估计方法。通过一个XB40-100谐波减速器的案例验证了所提方法的实用性与可行性。结果表明，所提方法可以有效地将试验数据与理论模型结合，进而准确计算谐波减速器在给定负载、转速和温度条件下的传动效率。通过确信可靠性分析，发现适当提高负载扭矩、降低转速或者提高环境温度有助于提高传动效率裕量及其可靠性。

关键词：谐波减速器;确信可靠性;传动效率;性能裕量;不确定性

中图分类号：TB114.33;TH132.43

文献标志码：A

文章编号：10044523（ 2022）01-0237-09

DOI： 10.16385/j .cnki.issn.10044523.2022.01.026

引 言

谐波齿轮传动技术是20世纪50年代随着空间科学、航天技术的发展而产生的一种新的传动技术[1]。它是在薄壳弹性变形的理论基础上发展起来的，主要依靠中间挠性构件的弹性变形来传递运动。谐波齿轮机构具有结构简单、体积小、重量轻、噪音低、承载能力高、传动精度和传动效率高等优点[2-3]，广泛应用于空间技术、能源、机器人等领域。随着应用领域的扩大和产品向着高质量长寿命发展的趋势，对谐波齿轮传动的可靠性提出了严格的要求。传动效率是表征谐波齿轮传动功能的重要性能指标之一[4]，因此，如何准确地计算谐波齿轮的传动效率并开展可靠性分析，具有重要的实际意义。

为了计算谐波齿轮的传动效率，很多学者开展了深入的研究。在谐波传动效率的理论建模和仿真计算上，施祖康等[4]在实验研究的基础上，提出了一种传动效率曲线计算方法，可以计算不同载荷条件下的传动效率。陈桦等[5]分析了多种形式的谐波齿轮传动的啮合效率和波发生器效率，并提出了系统的传动效率计算方法。Ianici等[6]针对一种双波谐波减速器开展了传动效率的实验研究。杨连花[7]针对一种谐波行星复合减速装置开展了传动效率试验，并与传动效率的理论计算结果进行了对比分析。李德举[8]围绕着谐波传动的功率损耗方面进行了分析与研究，提出了一种基于有限元软件ABAQUS的功率损耗计算方法。肖京[9]通过ANSYS软件分析并计算了谐波减速器中波发生器和轮齿啮合的摩擦损耗。这些方法从理论角度给谐波齿轮传动效率的计算提供了依据，但是目前已有的传动效率计算方法还并不完善，除考虑谐波齿轮的制造参数外，大多仅考虑不同负载条件下的传动效率计算。实际上，影响谐波齿轮传动效率的因素種类很多，为此，很多学者开展了试验研究。夏田等[10]针对工业机器人用谐波减速器，开展了正交试验，定性地分析了润滑方式、转速和载荷对谐波减速器传动效率的影响。李波等[11]针对空间润滑谐波减速器开展了传动性能试验，研究了在超载条件和不同温度条件下，固体润滑和脂润滑对柔轮一刚轮齿轮摩擦副的摩擦情况和对谐波减速器传动性能的影响。李波[12]采用了交互正交试验方法，进行了谐波减速器传动性能热真空试验，研究了转速、环境温度、负载扭矩和润滑方式等因素及其耦合作用对谐波减速器传动效率的影响。Zhou等[13]基于谐波齿轮的传动效率试验，针对温度、真空度、转速和扭矩及其耦合对传动效率的影响进行了方差分析。通过上述对谐波齿轮传动效率的试验研究可以发现，润滑方式、负载、转速和环境温度是影响谐波齿轮传动效率的主要敏感因素，但是目前已有的研究中大多是通过定性分析的方式探究这些敏感因素对传动效率的影响，并没有开展深入的定量研究。因此，还不能给出谐波减速器在实际工作和环境条件下的传动效率模型。

在谐波齿轮的传动过程中，往往期望其具有较高的传动效率，传动效率的下降代表着能量损耗的增多，且当传动效率低至某一范围时，会使得谐波齿轮的输出功率难以驱动后续机构的动作，使得整个传动系统发生失效，需要进行维修或更换。因此，在谐波齿轮的实际使用中，会给谐波齿轮的传动效率设定一个下限值，即阈值。谐波齿轮传动效率可靠性表征着其传动效率满足传动要求的能力，可量化为谐波齿轮传动效率高于其阈值的概率。近年来，有一些学者针对谐波齿轮机构的传动效率开展了一些试验，进行了可靠性建模与评估。李俊阳等[14-15]针对空间润滑谐波减速器黏着磨损失效问题，建立了混合润滑状态下的黏着磨损模型，并以传动效率为性能参数开展了加速寿命试验和可靠性评估。官浩[16]构建了谐波减速器传动效率的随机退化模型并开展了谐波减速器的加速退化试验，通过统计分析研究了空间谐波减速器的可靠性和寿命特征。目前对谐波齿轮传动效率的可靠性研究还较少，大都通过试验的方式评估谐波齿轮在某种工况条件下的可靠性和寿命指标，很少有文献从理论模型的角度出发，搭建起谐波齿轮传动效率的理论模型到可靠性模型的桥梁，并细致地考虑各种不确定性的影响，实现可靠性的量化。

为此，基于可靠性科学原理，在确信可靠性理论的框架下，本文对谐波齿轮传动效率的可靠性开展研究，提出了谐波减速器传动效率的确信可靠性建模与分析方法。首先，考虑谐波减速器传动过程中的能量损耗以及影响传动效率的多种外在因素的作用机理，构建谐波齿轮传动效率的理论计算模型，并从性能裕量的角度，引入传动效率的阈值，构建谐波齿轮传动效率裕量模型。然后，针对裕量模型开展不确定性分析与量化，构建谐波齿轮传动效率确信可靠性模型。接着，给出了基于谐波齿轮传动效率实测数据的传动效率模型中未知参数的极大似然估计，实现理论模型与试验数据相结合。最后，本文针对一个XB40-IOO谐波减速器开展案例研究。该方法有助于计算谐波减速器在不同的工况和环境条件下的传动效率及其可靠度，并通过对影响可靠度的敏感因素进行分析，实现对谐波减速器的设计和实际应用提供指导。

1 谐波减速器传动效率可靠性建模

1.1 谐波减速器

谐波减速器的构成主要包括三大零部件：刚轮、柔轮和波发生器。谐波减速器的结构如图1所示。刚轮是一个刚性环状内齿轮;柔轮是一个薄壁圆柱外齿轮，它和刚轮模数相同，但齿数一般比刚轮少两个;波发生器是一个安装在椭圆凸轮上的薄壁滚子轴承，外圆是椭圆形并随着内圆旋转，通过滚子作用产生旋转变形，其最大直径比柔轮内圆的直径略大。谐波减速器工作时，由于波发生器的作用，柔轮产生变形，导致其长轴两端的齿恰好与刚轮的齿完全啮合，短轴处的齿则与刚轮的齿完全脱开。对于那些位于波发生器长轴和短轴之间的齿，则处于某些啮人某些啮出的过渡状态。随着波发生器的连续轉动，柔轮产生连续的弹性变形，使得柔轮与刚轮之间的齿不断地重复“啮入一啮合一啮出一脱开”这一过程，以此来传递啮合运动，如图2所示。本文考虑刚轮固定，波发生器主动，柔轮从动的谐波减速器。

1.2 传动效率性能裕量建模

传动效率表征着机构的机械能有效利用的程度，谐波齿轮传动效率常用下式进行计算：式中 i为传动比;Tout为谐波减速器的输出轴扭矩;Tin为谐波减速器的输入轴扭矩。

但是，在用公式（1）进行计算时，需要同时测量输入轴扭矩和输出轴扭矩，这使得公式（1）在实际应用时存在困难。

在谐波减速器动作过程中，输入的机械能除转化为有用功外，还存在各种能量损耗，主要包括：啮合摩擦损耗We、由于啮合力在谐波轴承中引起的摩擦损耗Wb和薄壁零件初变形所需径向力在谐波轴承中所引起的摩擦损耗WF等[17]，如图3所示。

考虑谐波减速器的能量损耗，其传动效率可计算为：

王洪星[17]考虑谐波减速器的结构和动作原理，给出了谐波减速器动作过程中的有用功和上述三种能量损耗的理论计算方法，并针对刚轮固定，波发生器主动，柔轮从动的谐波减速器，对公式（2）进行了化简，得到：式中 μ为谐波轴承中的当量摩擦因数;d为柔轮内径;F为柔轮弹性变形力;M为负载扭矩;厂为齿面滑动摩擦因数;h为简体厚度;R为刚轮齿高一半处直径;a为轮齿压力角。

通过公式（3）可以发现，谐波齿轮传动效率除与谐波减速器组成部件的材料、尺寸参数外，只与负载扭矩相关。负载扭矩大，传动效率高;负载扭矩小，传动效率低。实际上，影响谐波齿轮传动效率的因素有很多，比如润滑方式、转速、负载和环境温度等[10-12]，这些因素影响传动效率损失的主要机理为：

1）谐波减速器主要有三种润滑方式：固体润滑、脂润滑和油润滑。在含有润滑的谐波减速器中，润滑剂在齿轮表面会形成一层润滑膜，该润滑膜可以吸附磨屑微粒，进而达到降低摩擦，减小摩擦损耗的目的，不同类型的润滑方式对减小摩擦损耗的程度有影响。

2）在含有润滑的谐波减速器中，转速的增加使得润滑剂更容易被挤出，导致摩擦因数增大，摩擦损耗增大;此外，任何机械在旋转过程中，都会对周围空气进行搅动，因此都存在风阻损耗，而且风阻损耗在减速器传动总能量损耗中占有相当比例[18]。风阻损耗同样也是通过摩擦损耗体现的，转速越大，风阻损耗越大，摩擦损耗也越大;

3）谐波减速器负载的增加同样会增加对润滑剂的挤压，使得润滑膜变薄，进而使得摩擦因数增大。

4）温度对于润滑剂的流动性具有很大的影响，温度升高，润滑剂变软，流动性变好，使得润滑剂的黏度降低，进而降低了摩擦因数，减小摩擦损耗。

通过上述分析可知，润滑方式、负载、转速和温度主要影响谐波减速器齿轮表面的摩擦因数。由于这些因素对摩擦因素影响的机理模型还不清晰，本文通过使用代理模型方式，将润滑方式、扭矩、转速和温度对摩擦因素的影响考虑进去。令谐波减速器的齿面滑动摩擦因数满足如下模型：

可靠性描述产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。康锐[19]总结凝练了可靠性科学的基本原理，其中第一条是“裕量可靠原理”，其含义为：产品的性能裕量决定着产品的可靠程度，性能裕量等于性能参数与其阈值间的距离。在本研究中，针对谐波减速器，以其传动效率为性能参数，给定其失效阈值为ηth，当谐波齿轮传动效率低于ηth时，谐波减速器的输出功率较低，不能驱动后续机构的动作，由此导致整个包含谐波减速器的传动机构无法动作，此时也即判定谐波减速器是失效的。因此，谐波齿轮传动效率的性能裕量可描述为：

m =η- ηth

（8）

当性能裕量m>0时，传动效率不会达到失效阈值，谐波减速器能够驱动后续机构的动作，可以完成规定的功能;当m<时，传动效率已经超过失效阈值，谐波减速器无法驱动后续机构的动作，认为其已经失效;当m=0时，传动效率等于失效阈值，谐波减速器处于正常工作与失效的临近状态。

1.3 不确定性分析与量化

可靠性科学原理指出产品的性能裕量是不确定的（不确定原理）[19]，其中，性能裕量的不确定性包含性能参数的不确定性及其阈值的不确定性。性能参数的不确定性主要来源于产品内在属性（如尺寸、材料等）和交互的外界条件（如工作应力、环境应力等）的不确定性;阈值的不确定性主要来源于对产品功能边界的不清晰的认知。

为了量化不确定性，一般而言，不确定性的种类可以分为两类，一类是随机不确定性，另一类是认知不确定性[20]。随机不确定性表征为现实世界固有存在的、无法被消除的随机性特征。认知不确定性表征由于人的知识不完备导致的非确定性。通过各种科学实践，能够提高对客观世界的认知，进而降低认知不确定性。在本文中，仅考虑随机不确定性的存在，并选用概率论对随机不确定性进行量化。

考虑到谐波减速器生产和制造过程中存在的不确定性以及工作应力和环境条件中的不确定性，实际测量得到的谐波齿轮传动效率数据会呈现波动性的特点。为此，在谐波齿轮传动效率模型（6）中引入一个不确定项ε，并假设ε是一个随机变量，服从均值为0，标准差为σ的正态分布，即ε-～N（0，σ2）。那么，考虑不确定性的谐波齿轮传动效率模型为：

谐波齿轮传动效率的失效阈值需要基于具体的谐波齿轮的功能和性能分析，并通过开展实验进行确定。为了使得谐波减速器能够顺利地传递运动，当谐波减速器的输入力矩一定时，由公式（1）可知，其传动效率决定着其输出力矩，这个输出力矩又作为后一机构的输入力矩进行运动的传递。当谐波减速器的输出力矩小于后一机构的启动力矩时，便无法传递运动，整个传动机构也就失效了;或者当谐波减速器的输出力矩小于某规定力矩时，也可认为谐波减速器不能满足规定的功能。通过实验的方式可以辨识谐波减速器在上述两种情况下的输入力矩和输出力矩，进而获得谐波齿轮传动效率的失效阈值。由于产品不可避免地存在不确定性，同一种机构的启动力矩也并非是一个固定数值[21-22]。另一方面，谐波减速器的输入力矩取决于前一机构的输出力矩，同样有不确定性。因此，谐波齿轮传动效率的阈值也存在不确定性。假设其阈值ηth是一个随机变量，服从均值为ηth，标准差为σth的正态分布，即ηth～N（ηth，σth）。

将考虑不确定性的谐波齿轮传动效率77及其阈值ηth代人公式（8），可得：

m=η-ηth

（II）

由公式（11）可知，谐波齿轮传动效率的性能裕量m也是一个随机变量，其概率密度函数为

1.4 确信可靠性建模

基于可靠性科学原理提出的确信可靠性理论[10]指出，产品可靠度可以采用概率论、不确定理论[23]和机会理论[24]来度量。其中，概率论用来描述随机不确定性;不确定理论用来描述认知不确定性;而机会理论用来描述随机和认知的混合不确定性。对于受到随机和/或认知的混合不确定性影响的系统，称之为不确定随机系统，其性能参数为不确定随机变量。

定義（确信可靠度）[19]设系统的性能裕量m为不确定随机变量，则确信可靠度是系统的性能裕量大于0的机会，即：

式中 Ch{.}为机会测度。

如果系统主要受到随机不确定性的影响，那么系统会退化为一个随机系统，系统的性能裕量m随之退化为一个随机变量。此时，确信可靠度在数学上退化为了概率测度下的可靠度，即经典的概率可靠度，表示的是性能裕量大于0的频率。令RIP）表示概率论下的确信可靠度，则：

本研究仅考虑随机不确定性对谐波齿轮传动效率的影响，因此采用概率论对谐波齿轮传动效率的确信可靠度进行度量，将公式（11）代人公式（14）可得：

2 统计分析

假设针对某型号谐波减速器开展了传动性能试验，令ηijk为负载水平M，，转速水平wj和温度应力水平Tk下的传动效率试验数据，i=1，2，…，l;j=1，2，…，m;k=1，2，…，n，其中l为负载水平数，m为转速水平数，咒为温度应力水平数。在构建的考虑不确定性的谐波齿轮传动效率模型（9）中，未知参数集为θ={ a1，a2，a3，a4，σ}。

本文采用极大似然方法对未知参数进行估计，可以得到基于上述谐波传动效率测试数据的似然函数为：

3 案例研究

3.1 谐波齿轮传动效率测试数据

某公司针对XB40-100的谐波减速器（传动比为100，润滑方式采用空间润滑油脂）开展多应力类型（负载扭矩、转速和温度应力）多应力水平的传动效率性能试验，试验设置如表1所示，试验测得的谐波减速器传动效率数据如图4所示。

3.2 参数估计

基于第2节的统计分析方法，可以得到考虑不确定性的谐波齿轮传动效率模型（9）中未知参数的估计结果，如表2所示。

将参数估计结果代人到谐波齿轮传动效率模型（9）中，可得在负载扭矩为5，8，10和15N.m的条件下谐波齿轮传动效率及其80%置信区间，结果如图5所示。

由图5可以看出，各负载条件下的谐波齿轮传动效率试验数据几乎都在所提的传动效率计算结果的80%置信区间内，且都在其均值曲面附近，均匀地分散在均值曲面两侧。结果表明，所提的谐波齿轮传动效率模型可以有效地将试验数据与理论模型结合，以弥补润滑方式、负载、转速和温度对谐波齿轮传动效率影响机理不明的问题，进而准确地计算在谐波减速器在给定润滑方式、负载、转速和温度条件下的传动效率。

3.3 确信可靠性评估与分析

假设XB40-100谐波减速器的实际负载扭矩为5～15 N-m，转速为100～1000 r/min，环境温度为一35～65℃，以及谐波齿轮传动效率失效阈值为N（40%，（5%）2）。根据公式（11），选定负载扭矩为5，8，10和15 N-m，计算不同转速和温度条件下谐波齿轮传动效率裕量及其80%置信区间，如图6所示。根据图6，可以得到以下两点结论：

1）谐波齿轮传动效率裕量随着转速的降低而升高，随着温度的升高而升高，这与1.2节转速和温度对谐波齿轮传动效率影响的分析结果一致，即降低转速和升高温度有助于减小摩擦损耗，进而提高了谐波齿轮传动效率，增加了传动效率裕量，提高了可靠性。

2）随着负载扭矩的增加，谐波齿轮传动效率裕量升高，这与1.2节负载扭矩对摩擦因数的分析结果相反。原因在于，负载扭矩对谐波齿轮传动效率的影响是双面的：一方面，负载扭矩直接影响谐波减速器的输出功率，根据公式（3）可知，负载扭矩越大，传动效率越高;另一方面，根据1.2节负载扭矩对摩擦因数的影响分析，增加负载扭矩会增大摩擦损耗，进一步会降低传动效率，该分析结果与表2中的参数估计结果一致，即a2=0.075>0，摩擦因数与负载扭矩正相关。但是从谐波齿轮整体的传动角度考虑，负载扭矩提高传动效率的正向影响远大于摩擦因数对传动效率的抑制作用。故负载扭矩对传动效率的影响最终体现为：增加负载扭矩，谐波齿轮传动效率升高，其传动效率裕量也升高。

根据公式（15），可以计算得到其对应的确信可靠度，如图7所示。上述从传动效率裕量角度的分析结果与图7中的确信可靠度结果一致。确信可靠度随着负载扭矩的升高，转速的降低和温度的升高而升高。因此，在谐波减速器的实际使用过程中，根据谐波减速器的实际使用情况，可以适当提高谐波减速器的负载扭矩、降低其转速或者提高环境温度，这有助于提高谐波齿轮传动效率可靠性。

4 结 论

本文基于可靠性科学原理和确信可靠性理论，对谐波齿轮传动效率的确信可靠性建模与分析开展研究。首先，本文考虑了谐波减速器输入功率的能量消耗，包括输出功率、啮合摩擦损耗、由于啮合力在谐波轴承中引起的摩擦损耗和薄壁零件初变形所需径向力在谐波轴承中所引起的摩擦损耗等，以及外在影响因素对传动效率的影响，包括润滑方式、负载、转速和环境温度等，通过在谐波齿轮传动效率理论计算模型中引入代理模型的方式，构建了考虑多种外在影响因素的谐波齿轮传动效率模型。进一步考虑了传动效率与其阈值之间的距离，构建了谐波齿轮传动效率裕量模型。然后，对裕量模型中的多源不确定性进行分析和量化，给出了谐波齿轮传动效率的确信可靠性模型。最后，基于极大似然估计方法，对模型中的未知参数进行标定。

通过一个XB40-100谐波减速器的案例验证了所提方法的实用性和有效性。结果表明，所提的谐波齿轮传动效率模型可以有效地将试验数据与理论模型结合，进而准确地计算谐波减速器在给定负载、转速和温度条件下的传动效率。通过谐波减速器传动效率的确信可靠性分析，发现适当提高谐波减速器的负载扭矩、降低其转速或者提高环境温度有助于提高谐波减速器传动效率裕量及其确信可靠性。

可靠性科学原理指出，产品会沿着退化时矢发生不可逆的退化（退化永恒原理）[19]，但是本文开展的谐波齿轮传动效率确信可靠性分析并没有考虑退化的影响。实际上，谐波齿轮传动效率的退化非常缓慢，但是在长期工作下，在谐波减速器的长期使用过程中，不可避免地会发生磨损，润滑环境会变得恶劣，这些都会增大谐波减速器的摩擦耗损，进而降低谐波齿轮传动效率裕量及其可靠度，因此，退化对传动效率可靠性的影响不可忽视。此外，在谐波减速器的退化过程中，仍然存在着多种多样的不确定性，如负载、转速和环境温度的不确定性等，这些都会影响谐波减速器的磨损过程，进而增大可靠性建模与分析的难度。因此，在未来谐波齿轮传动效率可靠性的研究中，需要科学合理地构建谐波齿轮传动效率的退化模型，考虑多源不确定性，进行可靠性分析与研究。

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