刘 雪，常建明

（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

0 引言

根据连续函数的定义，平面区域 Ω 上的二元连续函数z=f（x，y）对自变量x和y分别都是连续的.但反之未必，也就是说，二元函数z=f（x，y）对每个自变量x和y的连续性尚不能保证它是一个连续函数.

例1[1]考察二元函数

函数f（x，y）在原点（0，0）处关于x和y都是连续的.但是函数f（x，y）在原点处是不连续的：沿直线y=mx（m为任意实数）趋于点（0，0）时，极限

与m有关，从而不存在.

因此当一个多元函数关于各个变量都连续时，如何寻求恰当的条件使得该函数连续的问题就值得去研究.关于此，我们熟知下述结果（见文献1 习题10）.

定理1设二元函数z=（fx，y）在 ℜ2上关于自变量x和y都是连续的，并且关于y是单调的，则f是 ℜ2上的连续函数.

我们指出定理1对一般的平面区域Ω也成立.

本文中，我们将推广定理1.我们先对定理1的条件做一些分析.二元函数z=（fx，y）关于自变量x和y的连续性相当于二元函数沿任何直线y=C1和任何直线x=C2的连续性；关于自变量y的单调性相当于二元函数沿任何直线x=C2的单调性.值得注意的是，这两族直线具有如下性质：（1） 每族中任何两条直线都互相平行；（2）每族直线均覆盖了整个平面 ℜ2；（3）不同族中的任两直线互相垂直，从而在区域Q⊂ ℜ2内至多有一个交点.

我们考虑更一般的连续曲线族来代替直线族y=C1和直线族x=C2.如果族中任何两条曲线l1和l2不相交，我们称平面曲线族Г={l}是不自交的.如果区域Ω中的任何点都有族中某条曲线l通过，称平面曲线族Г={l}覆盖了区域Ω.如果Г1中任……