黄素兰

[摘  要] 解题教学要关注学情，以学生的思维能力为基础，引导学生探究问题，串联条件，构建思路. 中考几何压轴题常在教材知识点交汇处命题，把握图形特点，逐步拆分构建，即可达成解题目的. 解题教学中要关注学生思维，注重探究体验. 文章探究了一道几何综合题的构建过程，并提出相应的教学建议.

[关键词] 几何;动态;模型;三角函数;过程

解题教学的重点是培养学生的思维，让学生善于解题. 但解题不在于多，而在于精，要通过解题使学生深刻理解概念，扎实基础，从而灵活应对千变万化的问题. 下面以一道几何压轴题为例，关注学生思维，探究解题过程，构建解题思路.

问题呈现

问题：如图1所示，在？荀ABCD中，点E是BC边上的一个点，且DE⊥BC，∠A=45°，AB=BE，点F是CD边上的一个动点，连接BF和EF，回答下列问题.

（1）如图1所示，当点F和D相重合时，如果CE=1，试求BD的长;

（2）如图2所示，当点F是CD的中点时，∠ABF的平分线与AD交于点G，试证明BF=EC+AG;

（3）在（1）条件成立的情况下，将△CEF沿着CD平移，得到了△C′E′F′，连接BE′，将BE′绕着点E′顺时针旋转90°，得到线段E′B′，再连接AB′和BB′. 在平移过程中，当△ABB′的周长最短时，请求出tan∠DAB′的值.

上述是一道综合性极强的几何试题，符合新课标对学生知识与技能的考查要求，问题将动态几何与逻辑推理相结合，题干条件凝练、图像清晰、构建精妙，问题难度梯度呈现，知识综合性极强. 尤其是第（3）问将图形平移与线段旋转相融合，同时结合了三角函数、周长最值等知识. 平移与旋转的结合在压轴题中不常出现，问题新颖但不超越考纲，为学生提供了更大的思维空间，可将不同条件作为解题的切入点. 在实际解题时，学生的思维活动具有较大差异，教学引导提倡整体分析图像，以思路构建为重点，探索解题方向.

针对学生开展解题分析

上述题目为几何综合题，对于基础较差的学生而言，该题过于复杂，一般读题后就直接放弃了. 该题以平行四边形为背景，讨论了点F的位置，论证含有系数的线段和差关系;引入动态图形，分析三角函数的构建. 对于基础一般的学生而言，若不能把握线段系数的特殊性，构造等腰直角三角形，运用“瓜豆原理”分析動点轨迹，则很难转化条件，也无法将条件与几何相似或全等联系起来. 因此，问题探究要注重两点：一是注重破题关键点的分析;二是注重条件转化、思路构建.

1. 第（1）问的解题分析

在第（1）问中，点F与点D相重合，结合DE⊥BC可知△DBE为直角三角形，借助勾股定理和平行四边形的性质即可求出BD的长，问题较为简单.

确定线段推导的起点极为重要，∠A=45°，则△DEC为等腰直角三角形，故DE=EC=1，可推知DC=AB=BE=. 在Rt△DEB中，DE=1，BE=，由勾股定理可得BD=，同时整个图形中的线段长度如图4所示.

教学中，教师要引导学生关注该图形中的两大特性：一是直角三角形特性——勾股定理;二是平行四边形特性——对边相等. 在几何特性的基础上开展线段关系的推导，对于其中的角度条件，可引导学生从几何特性和三角函数的视角来发掘. 对于图形线段的推导问题，建议采用上述直观呈现的方式，将对应线段标注在图中，有助于线段关系链的构建.

2. 第（2）问的解题分析

在第（2）问中，点F为CD的中点，并且∠ABF的平分线为BG，要求论证BF=EC+AG，属于含有系数的线段和差问题. 其中，系数提升了问题的难度，也为后续的图形构造提供了思路. 一些学生对系数值理解不到位，同时对含系数的线段和差关系的转化策略也掌握得不牢固，于是无法灵活地构造图形，也就无法消除系数，将其转化为常规的线段和差关系.

根据该系数，自然可以联想到构造等腰直角三角形，结合题干条件将其转化为EF或FC或DF即可. 线段和差的处理方式通常为构造全等三角形，拼接转化线段，故解题时可构造全等的等腰直角三角形来转化含系数的线段. 后续分析AB=BE，∠A=45°，故可考虑以BE为一边来构造与△ABG全等的三角形. 由于∠FEC=45°，延长FE至点H，使得EH=AG，则△ABG≌△EBH，再进一步证明FB=FH即可，具体过程如下.

延长FE至点H，使得∠GBH=135°，如图5所示. 结合平行四边形的性质可推知∠ABC=135°，故∠GBH=∠ABC，即∠ABG=∠EBH. 又知DE⊥EC，∠C=45°，故△DEC为等腰直角三角形. 点F为DC的中点，则EF⊥CF，EF=CF，故∠FEC=∠BEH=45°，EF=EC. 进一步可证△ABG≌△EBH，则可推知∠H=∠AGB=∠EBG. 又知∠ABF的平分线为BG，所以∠ABG=∠FBG. 所以∠FBG=∠EBH，从而可推知∠EBG=∠FBH，即∠H=∠FBH. 所以FB=FH=EF+EH=EC+AG.

另解 对于本题，也可以AB为边来构造与△BEF全等的三角形，后续结合平行四边形的性质可推出△HBG为等腰三角形，根据线段和差及等腰直角三角形的结论也可证明，具体如下.

延长DA至点H，使得AH=EF，再连接BH，如图6所示. 易证∠BEF=∠BAH=135°，又知AH=EF，BA=BE，则△ABH≌△EBF，所以BH=BF，∠ABH=∠EBF. 由于∠ABF的平分线为BG，所以∠ABG=∠FBG，可推知∠HBG=∠EBG. 因为AD∥BC，所以∠HGB=∠EBG. 所以∠HGB=∠HBG，可推知BF=HB=HG=AH+AG=EC+AG.

3. 第（3）问的解题分析

第（3）问是融合了几何运动与三角函数的综合题，涉及图形的平移和线段的旋转，求解本题的关键是确定B′的运动轨迹，而实际上点B′的运动轨迹与点E′的运动轨迹相关，即两者存在联动. 学生在解答时若不能把握动点之间的联动性，则很难确定关键点的轨迹，也就无法确定△ABB′周长的最值情形. 其中“瓜豆原理”是动点联动性分析的关键知识，教学中需要结合图形重点讲解.

突破该问的基本思路是提取动点B′的运动轨迹，构造旋转相似，结合“瓜豆原理”分析即可. 后续可将问题转化为“将军饮马”模型，结合对称知识确定△ABB′周长的最小值，此时就为点B′的位置，图形即可确定，构造直角三角形便可求得tan∠DAB′的值，具体过程如下.

结合平移知识可知，点E′的运动轨迹为过点E且平行于CF′的一条线段. 利用“瓜豆原理”分析点B′的运动轨迹. 过点E作EL⊥BE，使得EL=BE，构造等腰直角三角形△BEL，如图7所示. 易证图7中阴影部分的两个三角形为相似关系，故有∠B′LB=∠E′EB=45°，所以∠B′LE=90°，即点B′在过点L且平行于BE的射线上.

△ABB′的周长可表示为C=AB+BB′+AB′，其中AB为定值，则三角形周长的最小值由“BB′+AB′”来决定，符合“将军饮马”模型. 延长LB′，作点A关于LB′的对称点A′，由对称性可知AB′=A′B′，则BB′+AB′=BB′+A′B′. 分析可知，当点A′，B′，B三点共线时，BB′+A′B′可取得最小值，此时点B′为A′B与直线L的交點，如图8所示. 可证图8中有△ANB′∽△A′OB，由相似性质可得=，其中OB=1，AN=-1，A′O=2-1，则NB′=. 而tan∠DAB′=tan∠AB′N==2-1，即tan∠DAB′的值为2-1.

围绕教学深入思考

上述针对学生的思维能力展开考题探究，问题共有三问，后两问的难度较大，问题各自独立，又具有一定的知识联系，综合性极强. 笔者经过深入思考，提出了相应的建议.

1. 基础强化，知识联网

概念、定理、定义、公式是初中数学学习的重点，也是综合性问题构建的基础，深刻理解知识本质，掌握方法技巧，才能灵活破解问题. 本题中，平行四边形的性质、勾股定理、相似或全等三角形的性质是破题的知识基础，若学生不能充分理解知识内涵，不能灵活运用转化，就会导致解题失败. 教师要转变“重解题，轻基础”的观念，在教学中重视教材基础知识的讲解，并结合考题指导方法运用，从根本上提升学生的解题能力.

2. 重视审题，过程推理

本题中含有大量的信息条件，涉及平移、旋转两大几何运动以及周长最值、三角函数等熟悉的知识模块. 从题干信息入手，理解问题条件，掌握图形特点十分重要，这也是审题的重点内容. 部分学生在读题过程中不注重条件的挖掘，难以深刻理解图像所隐含的信息，解题时就容易出现思维障碍. 在日常教学时，教师要依托教材习题，指导学生掌握正确的审题方法，引导学生转化信息条件，进行过程体验，让学生在图形变换、过程分析中提升思维能力，培养理性分析的习惯.

3. 注重积累，总结模型

上述问题的综合性很强，尤其是最后一问融合了众多模型，如与联动相关的“瓜豆模型”、与线段最值相关的“将军饮马模型”，这些模型为后续的破题提供了条件. 虽然数学模型不是教材的重点内容，但总结模型、提取结论可有效提升解题效率. 因此，在实际教学中，教师不能一味地解题而忽视知识模型的总结，要引导学生关注图像模型，总结模型结论，进而形成相应的解题策略;同时，要注重多角度探究模型，拓展模型结论，引导学生在学习时举一反三，在探索与思考中获得知识与能力的提升.

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