许钊泉

（暨南大学数学系，广东 广州)

众所周知，数学一门重要的基础学科，与其他学科不同的是，其有着更强的逻辑性，而数学论文的写作一方面既要有新成果，另一方面又要能精确地把数学的研究成果转化成文字，进而撰写成文发表。这些对于刚接触数学论文写作的学生来说，特别是平时缺乏数学写作训练的学生来说，都不是容易的事。由于目前国内大部分高等院校考试都偏重于记忆，局限于书本知识的一般理解，导致对学生掌握理解知识的深度和实际运用能力难以全面理解。部分学生在学习教材时往往把重点放在内容理解和记忆上，而对书本章节内容的写作技巧关注不够，也没思考这样书写的合理性以及改进的可能性，甚至有些学生平时在学习专业知识时死记硬背，缺少动手动笔和实际操作练习，课堂上也很少做笔记和读书札记，对写作知识了解不多，也很少进行写作训练，甚至对论文的基本格式都不甚了解。因而，很多学生在论文写作上感到力不从心，在课题的选择，设计，结果的推理陈述，论文的撰写与修改等过程中总会犯一些错误。数学论文写作有其自身的规律和技巧，要达到专业的水平需要长期的训练。对于初步接触研究工作的数学专业的学生，在大学阶段学过很多数学专业课程，但往往把重心放在内容的理解上，而没有重视内容的书写结构和安排，这主要体现在阅读教材时，只是为了力求理解和掌握课本知识，而没有留意观察和学习每一定理、引理、例题是怎么书写证明的。这样导致大部分学生在做题时，心里面大概知道用什么知识解题，但就是不能把解题步骤精确地叙述出来。由于大学期间缺少系统的数学写作训练，很多刚接触数学论文写作的研究生对论文写作的基本要领不甚了解。此外，大部分学生平时很少阅读英文数学论文，对数学专业英语不熟悉，专业词汇量不够[2]。由于专业英语词汇缺乏，学生在运用专业英语组织语言时感到非常困难，往往在描述科学问题时用词不够精确，甚至词不达意。同时学生对一些数学专业英语特有的语法不熟悉，也导致写作思路不够清晰，条理混乱，语句表达不够流畅。其实很多学生感觉数学论文难写，都是因为对于论文不够了解，对论文的写作方法、论文结构缺乏认识，以及专业英语水平低下。

基于上述考虑，本文将谈谈笔者近年来在《数学论文写作与指导》教学上的一些心得体会。希望对学生如何有效查找文献、确立课题，如何精确地书写科研论文的各个部分，包括论文的标题、摘要、主体部分，以及讨论总结起到一些指示性作用，从而少走弯路，提高数学论文的写作能力。

一 确立课题

对于初步接触数学写作的学生来说，寻找课题的灵感从何而来？通常确立研究课题，首先要查找相关文献，可以通过网络搜寻（资料库、搜索引擎）、通过实体空间（图书馆、书店、档案室等）查找、请教相关专家等方法途径；也可以听相关课程或演讲、阅读图书馆内近期的重要期刊论文、查询论文后面的参考书目、看参考论文后面的未来研究建议，或者与同学及老师讨论。总的来说，确立研究课题，首先需要了解在某方面的研究，别人发表了什么观点，这就是说，需要站在当前研究领域的最前沿，对当前的研究进展和成果非常熟悉。这就要求学生学会通过各种途径搜索文献资料，只有熟悉掌握搜索资料，才能准确了解当前的研究现状，进而确立研究课题。既然是研究论文，那么选题范围就不要太大了，太大太宽泛的论文一个是容易落入俗套，另外就是如果没有深入研究的话，不容易阐述得清晰透彻，给人言之无物的感觉，不如选小一点的课题深入地说明，这样效果会更好。数学研究作为一项基础性研究，应反映作者本人所提供的新的事实，新的方法，新的见解。论文选题不新颖，实验没有新发现，即使有高超写作技巧，也不可能妙笔生花，写出新东西来吸引读者[1]。因此，研究课题内容切忌低水平重复，如受试对象，处理因素，观测指标，结果与前人雷同，这样毫无新意的论文是很难发表的。课题选择得太难可能做不出来，选得太小太简单，学术价值不大或达不到发表的要求。因此，所选课题要合适，这样才可以通过不懈努力在一段时间内获得有价值的新成果。对于你所选择的课题你要有自己独特的见解，与众不同的见解是你论文的核心和亮点，如果没有这些那么这篇论文的质量无疑是值得质疑的，很难引起读者的注意和评审的好感。总的来说选题应立足于：（1）创新性，即选题应是国内外还没有人研究过或是没有充分研究过的问题。(2)科学性，即选题应有最基本的科学事实作依据。(3)可行性，即选题应充分考虑从事研究的主客观条件，研究方案切实可行。

二 论文写作

数学论文写作已形成一种相对固定的论文格式，大体上由题目，一般不超过20字；摘要(应用的方法，得到的结果，具有意义等)；索引关键词；引言；研究方法，讨论，结果等部分组成。这种规范化的结构程序有利于数学成果的宣传和推广。一篇数学论文就是一个创作。在论文成稿之前，最初的工作是确定研究标题，以及如何解决问题，这是发现问题、解决问题的范畴。那么在问题解决之后如何精确呈现研究成果，做到清晰并正确地叙述研究成果，这是论文写作问题。写好数学论文基本是首先作者要思路清晰，对自己的研究课题，实验结果和它的意义，有清楚的了解。下面谈谈数学论文的题目、摘要和关键词；论文正文和参考文献这三部分写作的一些基本要领和技巧。

（一） 题目、摘要和关键词

题目就是一篇文章的标题，是文章最重要的一句话，它须简要地表达出文章的内容。一个新颖的题目可以给人耳目一新的感觉，而且容易给读者留下深刻的印象，因此在题目的选择和设定上要多花些心思。总的来说，论文题目须抓住整篇论文的精髓，不能过度推广，也不能太狭隘，尽量准确地反映出论文的研究主题。另外要设想别人透过网络查询论文题目时，可以在你的题目里找到关键字。其次，题目尽量做到简洁，其长短要适中，用词要简明、准确。当然，也要避免过分笼统或哗众取宠的所谓简洁，缺乏可检索性，以至于名实不符或无法反映出每篇文章应有的特色。

摘要相当于论文的简本，浓缩了论文最重要的部分，能让审稿人和读者在不读全文的情况下了解作者的科研成果，来判断是否有必要阅读全文。因此，摘要要反映出论文的主要内容，包括课题背景，要解决的问题和主要结论。一篇论文的摘要书写须包含对论文的主要结果与方法准确的概述，也要包括对研究结果意义等进行简要描述。摘要应该以直接客观的文字叙述为主，尽量避免出现复杂的公式以及敏感的注释和评论。此外，摘要一般不必要写太长，控制在100-200词为宜，力求简洁明了，言简意赅。

关键词是表征论文信息的词汇。对于日后阅读你的论文的读者，大部分是具有明确的目的性，如为了跟踪研究领域科研动向，或者为了查新，或为了寻找自己所需的研究方法和成果。因此为了便于读者从浩如烟海的书刊中寻找文献，特别是适应计算机自动检索的需要，应在书写摘要后给出3-5个关键词。关键词一般选能反映文献特征内容，通用性比较强的关键词。

（二） 正文

论文正文是整篇论文的主体，这部分主要陈述论文的研究背景、研究动机，研究结果及其证明。论文的主体框架通常由引言介绍，预备知识，主要结果证明，讨论总结构成。

1.引言。前言的目的是向读者说明本研究的龙去脉，吸引读者对本篇论产生兴趣。 在写前言之前首先应明确几个基本问题：你想通过引言说明什么问题？有哪些新的发现，是否有学术价值？一般读者读了前言以后，可清楚地知道作者为什么选择该题目进行研究。 因此，引言的写作非常关键，需要介绍整个研究的背景，让读者有兴趣继续阅读下去，做到给读者一个印象：这是一篇有趣、有意义和有新意的论文。引言应该包括以下几个方面：①简洁地陈述论文的研究背景、研究动机，以及研究课题的重要性，即其理论价值和现实意义；②介绍有关的历史背景、研究进展和现状，包括研究现状，即别人已经研究到怎样的地步，相关研究已经解决了哪些问题，有哪些已知方法和结果，从而加以评析，并引出你将要研究的问题。③描述论文所获得的主要结果，并陈述这些结果是通过利用或发展什么方法用到的，进一步以及所得主要结果的价值和用途； ④简述论文内容安排和中心思想，即每一节要研究和解决什么问题，解决这些问题需要用到什么思想方法。此外，引言必须要有自己的观点，要对现有结果进行评析，从而突出自己研究课题的必要性。

2.预备知识。预备知识主要叙述一些在主要结果证明用到的定义、命题、引理等。预备知识的大概由两部分内容构成：一部分内容是参考了前人公开发表的结果，通常以引理或定理的形式直接给出，省略详细证明（有时为了理论的系统性，也可以给出证明，或者给出一个新的证明）。对这部分内容需要注意的是，对所引用的每个结果（引理、定理或定义等）都应该注明出处。另一部分内容是建立若干新的结论，一般是以引理或命题的形式写出来，并给出详细证明。在列出主要结果之前，先罗列或证明一些引理，这样便于后面引用，显得依据充分，条理清楚，其中个别引理还可能将来在他文中用到。

3.主要结果与证明。主要结果及其证明部分是整个论文最核心的部分。是体现当前研究新颖性和重要意义的地方，从中应能体现论文对当前研究领域的贡献。因此在写作伊始，就应该尽可能清楚地知道如何呈现你的研究成果。数学是一门以逻辑推理为主的学科，因此对结果的论述要有很好的系统性，从前到后一步步进行推理，每一步都有依有据，这样的论文即使在文采方面并不出众，也是容易因其逻辑性和系统性而成为一篇好的论文的。因为数学是一门以逻辑推理为主的学科，因此文章的论述要有很好的系统性，从前到后一步步进行推理，这样的论文即使在文采方面并不出众，也是容易因其逻辑性和系统性而成为一篇好的论文的。除了结果的呈现外，应进行分析证明，说清楚研究结果和既有理论的关系。通常主要结果应该以定理的形式出现，其证明一般是给出定理之后就给出，也有论文的个别定理的证明放在定理之前或放在论文末尾作为补充给出。一篇论文的主要结果可以以一个定理给出，也可以分多个定理给出。在证明定理结论时，务必要做到思路清晰，推导严谨。如果有必要，数学论文中对于自己要阐述的问题可以通过插图、列表展示，但务必求排版合理。在叙述定理的证明时，要讲清楚每一步的根据是什么，是定义，还是公理和定理，决不能含糊，更不能想当然[3-4]。论文成稿之后还需要按照三个基本原则①结构合理、条理清楚；②推导无误、论证严密；③叙述严谨、语句通顺，进行反复修改。事实上，人的认识不是一次完成的，很难一次就达到完善恰当的程度。仔细检查，反复修改，总会发现还有不恰当、不完善之处，大致问题是否提得鲜明中肯，论点和事例有无说服力，结构层次是否严谨，小至文字的修饰加工，有无废话，语言是否准确、鲜明、生动等等。经过检查，总会发现尚需修改的地方，发现很多在提纲中看不出的毛病和原先估计不到的问题。因此，写成初稿后反复审查和修改，是十分必要的。做到每一部分内容都层次清晰、条理清楚、表述准确、语义连贯、衔接自然。文章涉及的公式的编排要整齐美观，其中出现的较复杂的表达式可以引入新的记号来代替，从而简化式子。此外， 段落之间的安排、语句逻辑顺序以及标点符号的使用等都要仔细琢磨检查。每一步的推导都要反复检查验算，直至确信正确无误[5-6]。

4.讨论总结。在主要结果与证明之后，可以对论文的研究内容及结果进行一个讨论总结。讨论部分将进一步向读者展示论文研究的创新性和意义。需要指出的是，讨论总结不是科技论文的必要组成部分。其主要是回答“研究出什么”它应该以正文获得的结果、数据和阐述分析作为依据，讨论所获得的结果对课题研究的进一步认识和意义，当然也要说明结论的局限性。要注意，总结并不是把论文各章节中的结果又重复说一遍，而是将论文的研究结果再进一步理论化。可以强调说明研究结果的建立的主要依据是什么，用的关键技术条件是什么，当这些条件放宽时，这些结果是否还成立。也可以讨论当前的研究课题做完了，进一步规划未来研究的方向和意义是什么。一般来说，讨论总结包含：一是由研究对象进行考察或实验得到的结果所揭示的原理及其普遍性；二是研究中有无发现当前研究的局限性或本论文尚未解释和解决的问题；三是与其他研究结果的异同；四是本论文在理论上与应用上的意义与价值；五是对进一步深入研究本课题的展望和建议。

三 参考文献

论文最后就是附上研究相关的文献。参考文献的表明除了要按照规定的格式之外，还要注意其严谨性，不要出现错误，报刊杂志等参考文献要详细到哪一期，甚至要求标注哪一页，这些都要实事求是地标注，这是做学问起码的要求和素质。参考文献的用意在于当读者对于作者引用的文献有兴趣的时候，可以据以找到全文来阅读，以了解此引文的脉络。要注意的是所列的参考文献务必与你的研究论文有关系，比如，你引用了某文献的结论，你推广了某文献的结果，你的研究思想源自某文献等等。确保所列的参考文献在正文都有引用，与正文中所引用的文献准确对应，做到每一个正文引用的文献都可以在参考书目中找到，同时每一条参考书目也都对应到正文中引用的文献。参考书目的标注格式，一般应遵循所投杂志的要求。