吴旭宝 刘明

【摘 要】新高考更加重视对数学建模核心素养的考查，试题具有“展现中国古代数学文化”“体现数学的应用价值”“感受数学之美”等特点。因此，在平时的教学中，应当重视数学应用题的教学，让学生形成数学应用题的基本解题策略，并通过开展数学阅读等途径提高学生的数学建模能力。

【关键词】核心素养;数学建模;考查特点;培养方式

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2022）11-0040-04

【作者简介】1.吴旭宝，江苏省盐城市田家炳中学（江苏盐城，224000）教师，一级教师;2.刘明，南京师范大学附属中学（南京，210003）教师，正高級教师，江苏省特级教师。

2020年全国各地陆续实施新课程、新高考。在新高考中，数学建模这一核心素养将如何考查？下面笔者结合自己对新课标、新高考试题的学习和研究，谈一些初步的思考，供同行们参考。

一、新课标重视数学建模

1.新课标将数学建模纳入高中数学的课程内容。

2017年版新课标与原来的课程标准相比，进行了较大幅度的修订：在课程目标上，新增了学科核心素养（即六大核心素养），认为“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现”;在课程内容上，增设“数学的建模活动与数学探究活动”，形成了高中数学课程内容的四条主线——函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动;在教学建议部分，提出了“突出学科核心素养、整体把握教学内容”等建议;在学业评价方面，提出了“注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系”等命题原则。[1]

2.新高考将数学建模作为学科素养的考查内容。

《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》对高考命题工作提出了如下要求：“突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题。”[2]此外，教育部考试中心编写的《中国高考评价体系说明》指出：“高考评价体系将考查的素质教育目标提炼为‘核心价值、学科素养、关键能力、必备知识’四层内容”;而“数学学科素养包括理性思维、数学应用、数学探究、数学文化四项内容”。[3]可见，“数学应用”在考试评价中具有重要的地位，应当给予足够的重视。

二、新高考试题对数学应用的考查情况

2020年，山东、海南两省进入新高考;2021年，全国又有8个省份进入新高考。新高考在数学应用的考查方面，有如下的特点。

2020年山东卷和海南卷，一共考查了6道应用题（单选题4道、填空题1道、解答题1道）。尽管2021年新课标Ⅰ卷的应用题题量较2020年有所减少，共考查3题道（1道单选题、1道填空题、1道应用题），但随着评价改革的不断推进，新高考试题中的应用题将会有一定程度的增加。

1.展现中国古代数学文化。

在历年的高考试题中，经常会出现一些有关中国古代数学文化的试题，以此对学生进行中华优秀传统文化的教育，新高考命题也是如此。

例1（2020年山东卷、海南卷试题）：日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面。在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（  ）。

A. 20°      B. 40°     C. 50°     D. 90°

从考查的内容来看，本题以中国古代测定时间的仪器“日晷”为载体，考查了球体的相关计算，不仅涉及立体几何中平面平行、线面垂直的性质，还涉及“纬度”这一地理知识（即直线与平面所成角的概念），对学生的空间想象能力有较高的要求，并且在一定程度上体现了学科综合的要求。

此类试题的考查目的是以“立德树人”为导向，让学生了解中国历史上的数学成就，了解中国历代数学家对数学的贡献，激励学生继承和弘扬中华优秀传统文化，培养具有爱国情怀的社会主义事业的建设者和接班人。

2.体现数学的应用价值。

在新高考数学应用试题中，也有体现数学在社会实践及科学研究中广泛应用的试题。

例2（2020年山东卷、海南卷试题）：基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎疫情的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）=ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT。有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6。据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln2≈0.69）（  ）。

A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天

本题以近两年来的新冠肺炎疫情这一重大社会事件为实际背景，是一道考查指数型函数模型的数学应用题。这样的试题，不仅让学生充分感受到“数学处处可见”，提高对数学的认识，而且能够引导学生关注生活、关注社会。

3.感受数学之美。

数学既是运算与推理的工具，也是一种表达和交流的语言，是人类文明的一个重要组成部分。因此，新高考试题将会出现更多的引导学生感受数学之美的试题。

例3（2019年全国高考Ⅰ卷试题）：古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是[5-12]（[5-12] ≈ 0.618，称为“黄金分割比例”），著名的“断臂维纳斯”便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是[5-12]。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（  ）。

A.165 cm    B.175 cm

C.185 cm    D.190 cm

此题可以选择两种不同的解题思路，第一种思路运用生物学知识，利用腿长估算身高;第二种思路利用不等式，求出身高的取值范围。本题中，命题者给出了与两个黄金分割比不相吻合的条件，就是为了引导考生在难以由“等量关系”估算身高时，应当考虑运用“不等式”这一数学模型来解决问题。此外，本题很好地体现了新课程理念：重视学科综合（涉及生物学知识），考查学科核心素养（考查了数学抽象、逻辑推理、數学建模、数学运算等核心素养）。这样的试题不仅发展了学生体验美、感受美的能力，而且还能够激发学生未来继续学习数学、研究数学的兴趣。

三、对数学应用能力培养的思考

1.在平时的教学中重视数学应用的教学。

数学应用是培养学生数学建模素养的重要途径之一。从数学建模的特点来看，它是在对实际问题进行数学抽象的基础上，用数学语言表达实际问题、用数学方法建立恰当的数学模型来解决实际问题的一种方法。

数学建模的一般过程为：在实际情境中，用数学的眼光发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题。由此可见，数学建模需要经历阅读理解、数学抽象、逻辑推理、建立模型、数学运算等过程，是一项综合的、复杂的系统工程。上述能力非一朝一夕能够形成的，教师需要在平时的教学中结合所学内容，选择与学生能力相适切的数学应用题，让学生去思考、研究、解决。

例如，在学习“分段函数”时，可以选取实际生活中与分段函数有关的例子（如出租车计价等）;在学习“指数函数”时，可以选取银行存（贷）款问题;在学习“三角函数”时，可以选用反映周期现象的数学应用题（如潮汐现象等）;等等。在学习完几种常见的初等函数模型之后，我们还可以设计一些让学生选择恰当的函数模型来解决实际问题的数学应用题。

2.让学生掌握数学应用题的基本解题策略。

在解数学应用题时，可按照“理解实际问题—建立数学模型—求解数学模型—解决实际问题”的流程进行，其中建立数学模型是关键。

（1）认真审题，实现数学抽象

正确审题是建立数学模型的前提。这就需要让学生在认真阅读、正确理解题意的基础上，借助画图、列表等手段，从应用题的文本信息中抽象出数学信息：有哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？这些量之间有什么样的关系？

（2）恰当设元，建立数学模型

在审题之后，根据题目所给的条件与所要求的结论，对下列问题进行理性的思考：已知什么？要求什么？各个量之间有什么关系？本题想考查什么？建立怎样的数学模型？如何设元？在思考这些问题的基础上，设元、建立数学模型。其中最核心、最困难的环节是“寻找各个量之间的关系”。

（3）校验模型，进行数学求解

在初步建立数学模型后，不应急于求解数学模型，而是应当对自己所建立的数学模型进行检验——检查自己所建立的数学模型是否符合实际问题。若不符合实际问题，就要对其进行修正，直到满足题意为止，然后再进行数学求解。

（4）回归实际，给出正确答案

在求解数学模型后，还要结合应用题的实际意义，检验所求得的解是否满足题意，并给出最终的答案，从而完成解题。

3.开展数学阅读提高建模能力。

如前所述，数学建模问题经常会结合中国数学史上的重要数学发现、反映数学与生活密切联系，以及体现数学美（数学文化）的相关内容来考查。因此，教师可以建议学生利用闲暇时间开展数学阅读，比如，浏览中国历代数学家的重要研究成果，阅读我国古代的高水平的数学著作以及介绍国外数学家研究成果的数学科普读物，还可以阅读一些关于数学美学和数学文化的读物。开展好数学阅读活动，不仅可以帮助学生拓宽视野、提高解决数学应用题的能力，而且还能够让学生了解中外数学家对数学的贡献，有利于他们葆爱国情怀、立报国之志。

以上是笔者依据新课标、新高考考试要求的变化情况，结合新高考试题对数学建模核心素养的考查特点，对数学建模核心素养的培养方式所做的分析和探讨。综上所述，笔者认为教师应时刻关注高考新变化和新方向，在日常的教学中挑选与学生能力相适应的数学应用题，引导学生形成自己的解题方法，提高学生的数学建模能力，达到培育数学学科核心素养的目的。

【参考文献】

[1]刘明.新课标视域下高中数学教学的再审视——从2019年全国Ⅰ卷“维纳斯女神像”考题说起[J].江苏教育，2020（35）：24-29.

[2]国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见 [EB/OL].http：//http：//www.gov.cn/zhengce/content/2019-06/19/content_5401568.htm.

[3]祁平，任子朝，等.指明改革方向绘就培养蓝图——高考评价体系育人视角的解读与应用[J].数学通报，2020（4）：1-6，23.

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